Exemplos de configurações centrais planares encaixantes

Examples of nested planar central configurations

ARTIGOS GERAIS

Exemplos de configurações centrais planares encaixantes

Examples of nested planar central configurations

Antonio Carlos Fernandes¹; Luis Fernando Mello; Malú Maira da Silva

Instituto de Matemática e Computação, Universidade Federal de Itajubá, Itajubá, MG, Brasil

RESUMO

Neste artigo estudamos configurações centrais planares encaixantes para o problema de n corpos em mecânica celeste quando n = 4, n = 8 e n = 12. Determinamos condições suficientes para a existência de tais configurações com os corpos nos vértices de quadrados com centros coincidentes e os comprimentos dos lados satisfazendo relações analticas explcitas. As massas dos corpos nos vértices de cada quadrado devem ser iguais.

Palavras-chave: problema de n corpos, configuração central planar, configuração central encaixante.

ABSTRACT

In this paper we study nested planar central configurations for the n-body problem when n = 4, n = 8 and n = 12. We show the existence of such configurations with the bodies at the vertices of squares with common centers. The masses of the bodies are equal at the vertices of each square.

Keywords:n--body problem, planar central configuration, nested central configuration.

1 Introdução

O clássico problema Newtoniano de n corpos em mecânica celeste consiste no estudo da dinâmica de mi corpos de massas positivas mi ocupando posições , interagindo de acordo com Lei da Gravitação Universal proposta por Newton . Usualmente d = 2 ou d = 3.

Uma configuração do sistema é definida como sendo . O centro de massa do sistema, dado por é a massa total, será considerado na origem de nosso referencial inercial, o qual é usualmente chamado referencial inercial baricêntrico.

As equações diferenciais que regem o problema de n corpos são dadas por

para é a distância Euclidiana entre os corpos localizados em ri e rj .. Na Eq. (1) estamos adotando um referencial em relação ao qual a constante de gravitação universal tem 1 unidade e as derivadas são tomadas com relação à variável independente t, denominada tempo. Observe que as equações em (1) estão definidas apenas quando . Assim, daqui em diante, nosso espaço de configurações será tomado como sendo o conjunto das colisões, onde r_ij = 0 para algum par i; j com i = j.

Dizemos que os n corpos formam uma configuração central se o vetor aceleração de cada corpo é proporcional ao seu vetor posição relativo ao centro de massa do sistema, ou seja, se existir tal que

para todo i = 1; 2; ...; n. Pode-se mostrar[2] que neste caso

sendo U a função potencial de Newton e I o momento de inércia dos n corpos. Assim, numa configuração central, o vetor aceleração de todo corpo aponta para a origem do referencial com magnitude proporcional à sua distância da origem. Deste modo, se os corpos numa configuração central tiverem velocidades iniciais nulas, os mesmos se moverão em direção à origem de modo que a configuração tenderá a um colapso homotético.

As configurações centrais permitem obter as únicas soluções explícitas do problema de n corpos conhecidas até hoje, que são as chamadas soluções homográficas, para as quais as razões das distâncias mútuas entre os corpos permanecem constantes. Para o caso onde os corpos estão num mesmo plano (d = 2) as configurações centrais são chamadas de equilíbrios relativos. Vale observar que uma configuração central planar dá origem a uma família de órbitas na qual cada corpo descreve uma cônica com um foco no centro de massa.

Das Eqs. (1) e (2), as equações que regem o problema de n corpos numa configuração central são dadas por

para i = 1; 2; ... ; n.

Exemplos clássicos de configurações centrais podem ser obtidos das soluções colineares encontradas por Euler [3] para o problema de três corpos, bem como das soluções triangulares equiláteras encontradas por Lagrange [4] para o problema de três corpos, para cada instante de tempo. Os livros de Wintner [5] e Hagihara [6] e o artigo de Moeckel [2] fornecem um estudo abrangente das configurações centrais.

A importância dada ao estudo das configurações centrais pode ser expressa pelo sexto problema da lista proposta por Smale [7] como desafios matemáticos para o século XXI. Smale coloca uma questão levantada por Wintner para as configurações centrais planares: para um dado conjunto de n corpos com massas positivas, o número de configurações centrais planares não equivalentes (módulo rotações, translações e dilatações) é finito?

Para três corpos há somente cinco classes de equivalência de configurações centrais, sendo três de Euler e duas de Lagrange. Hampton e Moeckel[8] em responderam afirmativamente a questão acima para quatro corpos, mostrando que o número de configurações centrais planares não equivalentes está entre 32 e 8472. Recentemente, Albouy e Kaloshin [9] em mostraram a finitude para cinco corpos para quase todos os valores de massas positivas. A questão acima ainda está em aberto para n > 5..

Pouco se sabe a respeito das configurações centrais para n arbitrário. Para o caso colinear, Moulton [10] mostrou que existem n!=2 possíveis configurações centrais, uma para cada ordenação dos corpos, para qualquer escolha de massas positivas.

Neste artigo estudamos uma interessante família de configurações centrais, chamada configurações centrais encaixantes. Na Seção 2. estudamos uma configuração central planar para o problema de quatro corpos, mostrando a existência de uma tal configuração para o caso em que os quatro corpos tem massas iguais e estão localizados nos vértices de um quadrado. Na Seção 3 mostramos a existência de uma configuração central para o problema de oito corpos, estando quatro corpos de massas iguais localizados nos vértices de um quadrado e os outros quatro corpos também de massas iguais localizados nos vértices de outro quadrado. Os dois quadrados tem centros coincidentes. Por fim, na Seção 4.,, mostramos a existência de uma configuração central para o problema de doze corpos os quais estão distribuidos sobre os vértices de três quadrados encaixantes com centros coincidentes. Sobre os vértices de cada um dos quadrados os corpos possuem massas iguais.

Configurações centrais encaixantes para o problema de seis corpos e para o problema de nove corpos foram estudadas por Mello e Fernandes[11] em e por Llibre e Mello [12] em, respectivamente. Em 2009, Corbera, Delgado e Llibre [13] em apresentaram argumentos para a existência de , encaixantes para o problema de pn corpos. Cabe destacar que nos vértices de cada n-ágono os corpos possuem massas iguais. Neste sentido, o que estudamos aqui, explicitamente, são os casos n = 4 e p = 1; 2; 3..

2 Problema de quatro corpos

As Eqs. (3) formam um conjunto de 2n equações para o caso de configurações planares. Alternativamente, vamos trabalhar aqui com um sistema equivalente de n(n-1)=2 equações, conhecido por equações de Laura--Andoyer--Dziobek (veja, por exemplo as Refs.[6, p. 241] ou [14] )

para , onde . Observe que em (4), é o dobro da área orientada do triângulo com vértices em , nesta ordem. Assim, e , para todo i; j; k. É claro que Ri_;j =Ri_;j, para todo _i;j.

Demonstraremos a seguir o seguinte teorema.

Teorema2..1. Quatro corpos de massas iguais nos vértices de um quadrado constitui uma configuração central.

Demonstração. Precisamos mostrar que as seis equações de Laura--Andoyer--Dziobek (4) são satisfeitas. Considere a Fig.1 . É simples verificar que as equações são trivialmente satisfeitas. Por outro lado, as equações são equivalentes às seguintes equações, respectivamente

Figura 1 - Quatro corpos sobre os vertices de um quadrado

Como, por hipótese, m₁ = m₂ = m₃ = m₄, as equações acima são satisfeitas e o teorema está demonstrado.

3 Problema de oito corpos

Considere quatro corpos de massas positivas m₁ = m₂ = m₃ = m₄, nos vértices um quadrado de lado 1. No interior desse quadrado há um outro de lado b, cujo centro coincide com o do primeiro, nos vértices do qual encontram--se quatro corpos de massas positivas m₅ = m₆ = m₇ = m₈. Veja Fig. 2 .

Figura 2
- Oito corpos sobre os vertices de dois quadrados encaixantes.

Devemos obter posições e valores positivos para as massas dos oito corpos de modo que satisfaçam as 28 equações de (4). Devido às simetrias presentes no problema em estudo, verifica--se que as igualdades do Apêndice 1 são satisfeitas.

Obtém-se imediatamente que as equações de são trivialmente satisfeitas. As equações f₂;6 = 0 e f₄;8 = 0 são equivalentes, o mesmo ocorrendo com as equações f_4;6 = 0 e f₂;₈ = 0, f_1;5 = 0 e f_3;7 = 0, f_1;7 = 0 e f_3;5 = 0, as quais podem ser escritas, respectivamente, das seguintes formas

Usando as simetrias, as oito equações assumem, respectivamente, as formas

É fácil ver que se as dezesseis equações acima são satisfeitas e as oito equações restantes f_1;6 = 0, f_2;5 = 0, f_2;7 = 0, f_1;8 = 0, f_3;6 = 0, f_3;8 = 0, f_4;5 = 0 e f_4;7 = 0 (considerando as simetrias do problema) reduzem--se à seguinte equação

Temos, assim, o seguinte teorema.

Teorema 3..1. Para cada b satisfazendo

0 < b < 0;53177...

existem massas positivas M = M_b e m = mb,, tais que se M = m1 = m2 = m3 = m4 e m = m5 = m6 = m7 = m8, então os oito corpos estão numa configuração central encaixante conforme a Fig.2.

Proof. Denote por r o raio da circunferência circunscrita ao quadrado de lado b da Fig.2 . Vamos mostrar que, para cada r satisfazendo

existem massas positivas M e m, tais que seM = m₁ = m₂ = m₃ = m₄ e m = m₅ = m₆ = m₇ = m8 , então os oito corpos estão numa configuração central encaixante conforme a Fig. 2 . Isto implicará na demonstração do teorema, visto que . Denotemos por A(r) o coeficiente de M e por B(r) o coeficiente de m na Eq. (), ou seja,

Devemos obter os valores de r para os quais A(r) e B(r) possuem sinais opostos, pois assim a razão M=m será positiva. Consideremos um sistema de coordenadas no qual r₁ = (0; 0), r₂ = (1; 0), r₃ = (1; 1) e r₄ = (0; 1).. Podemos obter as coordenadas dos outros corpos em função de _r:

A partir das posições dos corpos, podemos encontrar as distâncias e as áreas orientadas que aparecem em A(r) e B(r). Estudando as funções A(r) e B(r), podemos verificar que A(r) é crescente e positiva, enquanto que B(r) é crescente e troca de sinal. Veja as Figs.3 e ⁴. Assim, para r em (6) temos A(r) > 0 e B(r) .

Figura 3 - Graco de A(r).

Figura 4 - Graco de B(r).

4 Problema de doze corpos

Considere três quadrados de centros coincidentes. Admita que um quadrado possua lado 1 e que sobre seus vértices se encontrem corpos com massas positivas m 1 ,m2, m3 e m4 . Do mesmo modo, admita que os outros dois quadrados tenham lados x e y com 0 y x m ₅ , m ₆ , m ₇ , m₈ e m ₉ , m_10, m_{11, m12,} respectivamente, conforme Fig.5 .

Figura 5 - Doze corpos sobre os vertices de três quadrados encaixantes.

Nosso objetivo é encontrar posições e massas positivas que satisfaçam as 66 Eqs. (4), as quais podem ser trabalhadas considerando as simetrias que o problema apresenta. Veja Apêndice 2.

As equações são trivialmente satisfeitas. Podemos observar também que f_1;5 = 0 é equivalente a f_3;7 = 0, do mesmo modo f_2;6 = 0 e f_4;8 = 0, f_2;8 = 0 e f_4;6 = 0,f_1;7 = 0 e f_1;5 = 0, f_1;9 = 0 e f_3;11 = 0, f_2;10 = 0 e f_4;12 = 0, f_1;11 = 0 e f_3;9 = 0, f_2;12 = 0 e f_4;10 = 0, f_5;9 = 0 e f_7;11 = 0, f_6;10 = 0 e f_8;12 = 0, f_5;11 = 0 e f_7;9 = 0, f_6;12 = 0 e f_8;10 = 0 também o são. Essas equações podem ser escritas das seguintes formas, respectivamente

As equações f_1;2 = 0, f_2;3 = 0, f_3;4 = 0, f_1;4 = 0, f_5;6 = 0, f6;7 = 0, f7;8 = 0, f5;8 = 0, f9;10 = 0, f10;11 = 0,

f11;12 = 0 e f9;12 = 0 também podem ser simplificadas e resultam, respectivamente, em

Se supusermos que M = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ , m = m ₅ = m ₆ = m ₇ = m ₈ e = m ₉ = m₁₀ = m₁₁ = m^₁₂ todas as equações anteriores são satisfeitas e as 24 equações restantes se reduzem a

onde

Considere

Tomando um sistema de coordenadas onde r ₁ = (0; 0), r₂ = (1; 0), r₃₌ (1; 1_{), r4 = (} 0; 1),, temos

As distâncias e áreas envolvidas podem ser facilmente calculadas. As funções T₁,_{T2 e T3 assumem as formas}

onde

Teorema4.1 Considere x = 1/2 e y = 1/4. Existem massas positivas M, m e µ, tais que os doze corpos com massas M = m1 = m2 = m ₃ = m ₄ , m = m ₅ = m ₆ = m ₇ = m ₈ e = m ₉ = m ₁₀ = m ₁₁ = m₁₂estão numa configuração central encaixante de acordo com a Fig.5 .

Demonstracão. Substituindo x = 1/2 e y = 1/4 nas expressões obtidas anteriormente, podemos calcular facilmente as distâncias entre os corpos, bem como as áreas orientadas dos triângulos com vértices nos corpos. Uma condição necessária e suficiente para a existência de soluções diferentes da trivial no sistema homogêneo (7) é que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo. Fazendo esse cálculo para o sistema na Eq. (7), com x = 1/2 e y = 1/4, temos que essa condição é satisfeita. Por fim, para garantir a existência de soluções positivas (massas positivas), devemos tomar o produto vetorial de quaisquer dois vetores dentre A, B e C e este, por sua vez, deve possuir todas as suas componentes positivas. Tomando, arbitrariamente, A X B, devemos ter T ₁ > 0, T₂ > 0 e T₃ > 0. . Substituindo x = 1/2 e y = 1/4 nas Eqs. (8), (9) e (10) obtemos T₁ = 573; 9578, T₂ = 55; 2356 e T₁ = 86; 7871,, o que conclui a prova do teorema.

Pela continuidade das funções envolvidas na demonstração do Teorema 4.1, é possível obter uma vizinhança V de (x; y) = (1=2; 1=4), tal que, para cada existem massas positivas M ( x ₀; y ₀) = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄, m ( x ₀; y ₀) = m ₅ = m ₆ = m ₇ = m ₈ e ( x _{0 ;}y ₀) = m₉ = m ₁₀ = m₁₁ = m₁₂, de modo que os doze corpos como ilustrado na Fig. 5 estão numa configuração central encaixante.

O determinante da matriz dos coeficientes do sistema (7) é sempre nulo para 0 1(x; y) > 0 eT₂(x; y) > 0, respectivamente. Por outro lado, T3(x; y) > 0 para todo 0 y x . Na Fig.8 está ilustrada a vizinhança V de interesse.

Figura 6 - Conjunto de nvel zero da função T₁, a reta y = x e a região onde T₁(x; y) > 0 em amarelo na versão online.

Figura 7 - Conjunto de nível zero da função T₂ e a região onde T₂(x; y) > 0 em vermelho.

Figura 8 - Região V em cinza na qual T₁ > 0, T₂ > 0 e T₃ > 0.

5 Comentários finais

Neste artigo estudamos configurações centrais planares encaixantes no problema de 2.1, 2.2 ,4.1 corpos em mecânica celeste quando n = 4, n = 8 e n = 12 . Condições suficientes para a existência de tais configurações estão sintetizadas nos Teoremas , e , respectivamente.

Em resumo, na Seção 2 (veja Teorema 2.1) mostramos a existência de uma configuração central planar para o caso em que quatro corpos de massas iguais estão localizados nos vértices de um quadrado. Na Seção 3 (veja Teorema 3.1) mostramos a existência de uma configuração central para o problema de oito corpos, estando quatro corpos de massas iguais localizados nos vértices de um quadrado e os outros quatro corpos também de massas iguais localizados nos vértices de outro quadrado. Os dois quadrados tem centros coincidentes e seus lados tem comprimentos satisfazendo relações analíticas explícitas. Por fim, na Seção 4 (veja Teorema 4.1 ), mostramos a existência de uma configuração central para o problema de doze corpos os quais estão distribuidos sobre os vértices de três quadrados encaixantes com centros coincidentes. Sobre os vértices de cada um dos quadrados os corpos possuem massas iguais e os lados tem comprimentos também satisfazendo relações analíticas explícitas.

Como observação final, cabe destacar que os estudos das Seções 3 e 4 e podem ser adaptados para provar a existência de configurações centrais encaixantes para os casos p = 2, n = 4 e p = 3, n = 4 estando os quadrados de lados b e x com uma rotação de ângulo Veja as Figs.2 e 5.

Agradecimentos

Os dois primeiros autores são parcialmente apoiados pela FAPEMIG, processo número APQ - 00015/12. O segundo autor tem auxílios do CNPq, processo 304926/2009-4, e da FAPEMIG, processo PPM-00204-11. O terceiro autor teve auxílios da CAPES e FAPEMIG.

Recebido em 27/7/2012

Aceito em 2/2/2013

Publicado em 24/4/2013

Apêndices

1. Equações do problema de oito corpos

Devido às simetrias presentes no problema de oito corpos estudado aqui, verifica--se que as seguintes igualdades são satisfeitas

2. Equações do problema de doze corpos

Devido às simetrias presentes no problema de doze corpos estudado aqui, verifica-se que as seguintes igualdades são satisfeitas

• [1] I. Newton, Philosophi Naturalis Principia Mathematica (Royal Society, London, 1687).
• [1] R. Moeckel, Math. Z. 205, 499 (1990).
• [2] L. Euler, Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 11, 144 (1767).
• [3] J.L. Lagrange, Essai Sur le Problème de Trois Corps, Oeuvres v. 6, (Gauthier-Villars, Paris, 1873).
• [4] A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics (Princeton University Press, 1941).
• [5] Y. Hagihara, Celestial Mechanics (MIT Press, Massachusetts, 1970), v. 1.
• [6] S. Smale, Math. Intelligencer 20, 7 (1998).
• [7] M. Hampton and R. Moeckel, Invent. Math. 163, 289 (2006).
• [8] A. Albouy and V. Kaloshin, Ann. of Math. 176, 535 (2012).
• [9] F.R. Moulton, Ann. of Math. 12, 1 (1910).
• [10] L.F. Mello e A.C. Fernandes, Revista Brasileira de Ensino de Física 29, 385 (2007).
• [11] J. Llibre and L.F. Mello, Physica D 238, 563 (2009).
• [12] M. Corbera, J. Delgado and J. Llibre, Qual. Theory Dyn. Syst. 8, 255 (2009).
• [13] L.F. Mello, F.E. Chaves e A.C. Fernandes, Revista Brasileira de Ensino de Física 31, 13021 (2009).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Jul 2013
• Data do Fascículo
  Jun 2013

Histórico

• Recebido
  27 Jul 2012
• Aceito
  02 Fev 2013