Desarrollo de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica en futuros profesores de matemáticas ¹

Resumen

En este artículo se describe, analiza y evalúa la implementación de un diseño formativo para iniciar el desarrollo de la competencia de análisis y reflexión didáctica de futuros profesores de matemáticas de educación secundaria. La planificación de la experiencia, su implementación y evaluación, están basados en la aplicación de herramientas teóricas del enfoque ontosemiótico. En diversas investigaciones apoyadas en este marco se ha desarrollado y aplicado la noción de idoneidad didáctica como una herramienta de reflexión sobre un proceso de estudio. En este sentido, el objetivo principal de la acción formativa que aquí se describe es que los futuros profesores conozcan y sean competentes en la aplicación de dicha herramienta. El escenario de investigación es un curso de máster de formación de profesores de matemáticas de secundaria, en el cual participaron veintisiete estudiantes. La recogida de información se basa en el análisis de: las anotaciones del observador-investigador y profesor-investigador sobre el debate en clase, las grabaciones en audio y las respuestas entregadas por los participantes durante todo el ciclo de diseño. El análisis a priori de la situación didáctica propuesta revela una alta idoneidad epistémica y ecológica; no obstante, las limitaciones del tiempo asignado han condicionado el logro de un nivel de aprendizaje adecuado. Finalmente, el análisis de episodios de clase, usando las herramientas descritas en este artículo, se revela como una estrategia formativa idónea de profesores de matemáticas, aunque debe ser complementada con situaciones focalizadas en el desarrollo de otras competencias didácticas.

Educación matemática; Formación de profesores; Idoneidad didáctica

Abstract

In this article we describe analyse and evaluate the implementation of an educational design to develop the prospective mathematics teacher’s didactical analysis and reflection competence. Planning of the experience, its implementation, and evaluation are based on the application of theoretical tools of the onto-semiotic approach. In several studies supported within this theoretical framework, the notion of didactical suitability as a tool of reflection on a study process has been developed and applied. In this sense, the main objective of the learning processes described here is that prospective teachers know and be competent in the application of this tool. The research scenario is a Master course for Secondary education mathematics teachers in which 27 students participated. The information gathered is based on the analysis of: observer-researcher and teacher-researcher’s annotations on the debate in the classroom, audio recordings and the participants’ responses throughout the design cycle. The a priori analysis of the educational situation reveals a high epistemic and ecological suitability; nevertheless, time constraints have conditioned an adequate learning achievement. Finally, the analysis of class episodes, using the tools described in this article, is revealed as an ideal educational strategy, but it should be complemented with situations focused on the development of other didactical competencies.

Mathematics education; Teacher education; Didactical suitability

Introducción

En educación matemática han proliferado las investigaciones que proponen la reflexión sobre la práctica docente como una competencia clave para el desarrollo profesional y la mejora de la enseñanza. Así, nuevas perspectivas y nuevas teorías se han focalizado en el profesor reflexivo como una corriente de investigación relevante, elaborando diversos métodos de investigación, sin duda cada vez más sofisticados ( GELLERT; BECERRA; CHAPMAN, 2013 ). Claros ejemplos de estas propuestas son Lesson Study ( FERNÁNDEZ; YOSHIDA, 2004 ), Mirar con sentido profesional ( MASON, 2002 ), Concept Study ( DAVIS, 2008 ), en las cuales se trata de promover la reflexión del profesor sobre la acción , de manera individual o en interacción con sus pares.

El modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico Matemáticas (CCDM) que plantean Godino y otros autores (2016) destaca, entre otras, la competencia de análisis de la idoneidad didáctica , refiriéndose a la competencia para la reflexión global sobre la práctica docente, su valoración y mejora progresiva. Asimismo, estos autores dejan planteada la importancia de diseñar e implementar recursos formativos que promuevan la realización de este tipo de macro-análisis por parte de los profesores.

Partiendo de considerar al docente como un profesional reflexivo (SCHÖN, 1983; ELLIOT, 1993 ), hemos diseñado una parte de un curso para la formación de futuros profesores de secundaria. En este trabajo se describe un dispositivo formativo para desarrollar la mencionada competencia usando las posibilidades ofrecidas por episodios de clases video-grabadas. Los participantes en este tipo de experiencias tienen

[…] la oportunidad de desarrollar un tipo diferente de conocimiento para la enseñanza; conocimiento no de qué hacer a continuación, sino más bien, el conocimiento de cómo interpretar y reflexionar sobre las prácticas de aula. ( SHERIN, 2004 , p. 14).

Sin embargo, en este trabajo, la videograbación de clases queda en un segundo plano ( STOCKERO, 2008 ). Éstas deben ser un mero recurso que puede facilitar el acceso al formador y futuros profesores a fragmentos de realidad educativa en toda su complejidad, y desarrollar en los estudiantes en formación competencias docentes específicas mediante el análisis didáctico sistemático de las diversas facetas, componentes y factores condicionantes.

A continuación, se sintetiza el problema de investigación y marco teórico. En la sección Diseño formativo se describe el diseño didáctico planificado e implementado como parte de un curso de máster. En la sección Resultados se presentan los resultados en términos de nivel de aprendizaje logrado; mostramos ejemplos prototípicos de respuestas que permiten poner en evidencia dificultades, desafíos y avances en su competencia de reflexión. En la sección Análisis se presenta el análisis retrospectivo del diseño didáctico. Finalmente, en la última sección se incluyen las conclusiones.

Problema de investigación y marco teórico

Los aportes en el campo de la formación de profesores de matemáticas muestran una tendencia en centrar las investigaciones hacia aspectos que permiten al profesor, a partir de cierta información, describir qué sucede y por qué sucede, en determinados contextos educativos ( RAMOS-RODRÍGUEZ; FLORES; PONTE, 2016 ; PONTE, 2011 ; CLIMENT et al., 2013 ; GARCÍA; SÁNCHEZ; ESCUDERO, 2007 ).

Muchas de estas propuestas no determinan pautas para que los participantes, ya sean estudiantes en formación, profesores en ejercicio o formadores de profesores, valoren la pertinencia y propongan mejoras de la situación a la cual refieren, ya sea una clase observada o implementada, una programación de la clase, un programa educativo, un libro de texto, o el propio currículo. Básicamente, no abordan instrumentos que guíen de manera específica la reflexión profesional sistemática de un proceso de estudio. Hodgen y Johnson (2004) describen a la reflexión como un concepto difícil de alcanzar. En términos prácticos, “[…] no está claro cómo la reflexión de los profesores se puede facilitar o alentar. De hecho, existe considerable evidencia de que activar a los profesores para reflexionar está lejos de ser una tarea sencilla” ( HODGEN; JOHNSON, 2004 , p. 224).

Haciendo frente a este problema, los indicadores de idoneidad didáctica propuestos por Godino (2013) se presentan como un recurso para la reflexión del profesor y del investigador en las fases de diseño, implementación y evaluación de experiencias de enseñanza ( SECKEL; FONT, 2015 ).

Idoneidad didáctica: una herramienta teórico-metodológica para la reflexión profesional

La noción de idoneidad didáctica (ID) forma parte del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS), marco teórico introducido por Godino, Batanero y Font (2007) para la educación matemática. Dicha noción, sus componentes e indicadores, permite el análisis y valoración sistemática de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Se define como el grado en que un proceso de instrucción (o una parte del mismo) reúne ciertas características que permiten calificarlo como óptimo o adecuado para conseguir la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos disponibles (entorno). Esto supone la articulación coherente y sistémica de las seis facetas o dimensiones siguientes ( GODINO; BATANERO; FONT, 2007 ), cada una de las cuales constituye una faceta de la idoneidad didáctica:

• Idoneidad epistémica: se refiere al grado de representatividad e interconexión de los significados institucionales implementados (o pretendidos) respecto de un significado de referencia. Las tareas o situaciones-problemas son un componente fundamental en esta dimensión, y deben involucrar diversos objetos y procesos matemáticos.

• Idoneidad ecológica: grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla.

• Idoneidad cognitiva: grado en que los significados pretendidos e implementados están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/implementados.

• Idoneidad afectiva: grado de implicación (intereses, emociones, actitudes y creencias) del alumnado en el proceso de estudio.

• Idoneidad interaccional: grado en que las configuraciones didácticas y el discurso en la clase permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales (que se puedan detectar a priori), y por otra, resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción.

• Idoneidad mediacional: grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Godino (2013) identifica en cada una de estas facetas un sistema de componentes e indicadores empíricos generales, que constituyen una guía para el análisis y reflexión sistemática; así, dicho sistema aporta criterios para la mejora progresiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Un claro ejemplo se puede ver en la investigación que presentan Ramos y Font, quienes analizan el papel que juegan estos criterios de idoneidad didáctica en la argumentación de profesores sobre un proceso de instrucción; estos autores concluyen que:

Los criterios de idoneidad son herramientas que pueden ser muy útiles no sólo para organizar y analizar las prácticas discursivas del profesorado sobre cómo debería ser el proceso de instrucción, sino también para valorar las prácticas que intervienen en la determinación del significado pretendido, el implementado y el evaluado ( RAMOS; FONT, 2008 , p. 262).

Breda y Lima (2016) señalan que, una manera de llegar a una reflexión más elaborada, que permita la mejora de la enseñanza de las matemáticas, consiste en el uso de directrices explícitas, como las que ya se han aplicado en diversas propuestas de investigación y formación de profesorado en el marco de la teoría de la ID. Específicamente, desde el EOS se considera que el profesor de matemáticas debe conocer, comprender y valorar esta herramienta y adquirir competencia para su uso pertinente. Se trata de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de los procesos de estudio matemáticos ( GODINO et al., 2016 ); de esta manera, implementar ciclos de diseño o intervenciones formativas, se convierte en el paso siguiente para promover el desarrollo profesional de los profesores de matemáticas como profesionales reflexivos.

Diseño formativo

Este estudio se enmarca en un enfoque de investigación interpretativa de tipo exploratorio. Se aplica el método de las investigaciones de diseño ( KELLY; LESH; BAEK, 2008 ) en un contexto real de clase basado en el diseño/planificación, implementación y análisis retrospectivo de un primer ciclo formativo, fundamentado en las herramientas del EOS. Si bien este primer ciclo de diseño está orientado al desarrollo de competencias específicas de análisis e intervención didáctica en futuros profesores ( GODINO et al., 2016 ), en este trabajo nos ocuparemos de documentar la experiencia formativa correspondiente al inicio del desarrollo de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica . Propio de este método de investigación, durante la experiencia se realizan micro-ciclos de reflexión sobre recursos, estrategias e interacciones didácticas, con el objetivo de introducir mejoras en cada sesión de clase.

Contexto de la investigación, participantes y recogida de datos

La experiencia formativa se llevó a cabo en el marco de un máster de formación de profesores (año lectivo 2015-2016) en España, dentro de la asignatura Innovación docente e iniciación a la investigación educativa en matemáticas . Dicha asignatura se cursa durante el último mes del máster, previo a que los estudiantes realicen su práctica de enseñanza profesional. Asimismo, la implementación se realizó durante las últimas tres sesiones de clase, de dos horas cada una, de manera presencial.

Los participantes involucrados en este proceso son: el profesor del curso que a la vez es investigador, un observador con participación que también es investigador y 27 estudiantes para profesor de matemáticas de educación secundaria con una formación matemática consolidada.

La recogida de información se basa en un análisis de contenido de las anotaciones del investigador-observador y del profesor-investigador sobre los diálogos en clase y la puesta en común, la grabación en audio de todas las sesiones y el material final entregado por los estudiantes, con dos semanas de plazo. El análisis de los datos está orientado a la identificación de respuestas significativas sobre el estado inicial de los significados personales de los estudiantes, el reconocimiento de conflictos y progresos en el desarrollo de la competencia pretendida.

Recursos usados y fases de implementación

La implementación está organizada en seis fases que incluyen distintos recursos didácticos y momentos de trabajo individual, grupal y de evaluación final.

Fase de exploración inicial

Lectura y discusión de un documento sobre las características de una clase ideal de matemáticas, tomado de las orientaciones curriculares del NCTM – National Council of Teachers of Mathematics (2000 , p. 3): Una visión de las matemáticas escolares .

El objetivo es que los estudiantes elaboren una primera reflexión sobre posibles características ideales de una clase de matemáticas. Los estudiantes trabajaron de manera individual sobre una guía de reflexión, siendo un eje motivador para discutir las ideas previas, creencias y concepciones que tienen los futuros docentes sobre las matemáticas y los complejos procesos de su enseñanza y aprendizaje. Asimismo, se pretende involucrarlos en una reflexión sobre las diferentes formas de enseñar y los distintos posicionamientos didáctico-matemáticos, para finalmente provocar una evolución de sus ideas. Esta reflexión desprende inquietudes, motiva a preguntarse ¿cómo sería entonces una enseñanza de alta calidad? ¿con qué criterios puedo valorar mis propias prácticas matemáticas? ¿cómo realizar una reflexión sistemática sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje? ¿cómo valorar la idoneidad del proceso implementado? ¿cómo el análisis de dichos procesos puede ser apoyado y mejorado, controlado y gestionado, con algunos modelos (didácticos) que nos ayuden a mirar la realidad de nuestra aula. Siguiendo a Schoenfeld (1998 , p. 3): “Algo ha sucedido, ¿Qué hará el profesor a continuación y por qué?”.

En la puesta en común afloraron las componentes epistémica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y ecológica, cómo se articulan entre sí y cómo afectan al desarrollo de un proceso de estudio. Además, se pusieron en evidencia los significados personales de los futuros profesores sobre posibles criterios de idoneidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

La fase cierra con un proceso de reflexión sobre la necesidad de conocer y ser competente en el uso de herramientas específicas que le permitan al profesor valorar dicha práctica de manera sistemática; no se trata solo de describir y explicar qué está sucediendo en esa clase ideal, sino también de reflexionar sobre qué aspectos podrían mejorarse.

Fase de introducción a una herramienta para la reflexión

Lectura y discusión del artículo: Indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ( GODINO, 2013 ).

En la segunda sesión de clase se discute el artículo, leído previamente por los estudiantes. En este documento se presenta la noción de idoneidad didáctica y un sistema de indicadores de idoneidad didáctica para las distintas facetas implicadas en un proceso de enseñanza y aprendizaje, indicando las concordancias entre los criterios seleccionados y los propuestos por diversos autores y marcos teóricos.

Fase de puesta en práctica

Luego de discutir el artículo, se propone a los estudiantes ver un fragmento de una clase de matemáticas de educación secundaria. Este episodio fue seleccionado de internet, siendo material de libre acceso, en el que es posible observar 10 minutos de una clase impartida en México. En el video se identifican dos etapas: en la primera de ellas, los alumnos trabajan en grupos resolviendo problemas relacionados al cálculo de alturas inaccesibles, seguido de la puesta en común en el conjunto de la clase; en la segunda etapa, trabajan con objetos reales (árboles, postes, etc.) a partir de la medida de sus sombras. En la Tabla 1 se incluye la transcripción del video para facilitar el análisis de las respuestas.

Tabla 1
Transcripción del episodio de video centrada en las voces de los participantes.

1P		Buenas tardes a todos
2As		Buenas tardes
3P		Miren, el día de hoy vamos a trabajar con una consigna nueva. Estamos en el eje: forma espacio y medida, con el tema de formas geométricas y con el subtema (pone énfasis) de semejanza.
4P		Vamos a trabajar de una manera normal, como siempre, como lo hemos estado haciendo.
5P		Está aquí con nosotros el profesor Martín Eduardo Martínez Morales, que toma evidencias de las clases que hacemos y de la forma en cómo trabajamos. Así que trabajen ustedes de una manera normal, como siempre lo han hecho.
6P		Esperemos que el día de hoy saquemos esta consigna.
ENTREGA DE CONSIGNAS [minuto 00:52]
7P		Ahora sí, pueden darle vuelta su hoja y van a leer la consigna
LECTURA DE CONSIGNAS [01:07]
8P		A ver. Ya jóvenes. ¿Ya leyeron la consigna?
9P		¿Alguien de ustedes me puede decir, qué es lo que vamos a hacer en esa consigna?
10P		Señor Legarre
11A		En base al dibujo que se encuentra ahí, calcular la altura.
12P		Muy bien, ¿qué dicen los demás? ¿Todo bien?
13As		Sí
VERBALIZACIÓN [01:49]
14P		Van a calcular la altura de un árbol que aparece en un dibujo.
15P		¿Estamos bien?
16As		Sí
17P		Adelante. Hagan y calculen la altura del árbol como se da en la información.
18P		Ahora. Ahora. Miren.
USO DE LAS TIC’S [02:18]
19P		Ahí en la pizarra, en el proyector, estamos viendo ya el problema que estamos resolviendo.
20P		Utilicen los conocimientos adquiridos en las consignas anteriores, porque ahí, ustedes calcularon el valor de medidas de algunos triángulos con sus lados homólogos.
21P		También obtuvieron el valor de proporcionalidad.
SITUACIONES DIDÁCTICAS [02:52]
ALUMNOS HABLANDO ESPAÑOL [03:18]
22P		¿Quedó claro?
ALUMNOS HABLANDO DIALECTO NAHUATL []
23P		Acá tienen dos caminos. Ustedes cuando resuelven el problema pueden utilizar un método, ¿sí?, pero también utilicen el otro para verificar si están en lo correcto.
24P		Lo más correcto es que sea “esto” (el profesor señala el folio del alumno).
PUESTA EN COMÚN [03:44]
25A		La respuesta del problema es 5.23 (La alumna explica el procedimiento que hicieron escribiendo la cuenta en la pizarra)
26A		Entonces hicimos una regla de tres, y X es 5.23
27P		Les dio lo mismo por las dos formas. Muy bien
28P		Entonces la altura del árbol es 5.23
29		La clase sale a trabajar al patio de la escuela
30P		‘Esto’, por ‘esto’, entre ‘esto’ y te da la altura del poste. (El profesor le explica a unos alumnos y le escribe en el cuaderno)
31A		¡Ah!
32P		Ahora ustedes van a hacer lo mismo. Ya teniendo ustedes el metro, van a buscar un arbolito y van a medir su sombra.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS [06:41]
33E		Maestro, tenemos que presentar ante la supervisión escolar evidencias de los trabajos que se realizan actualmente con la reforma secundaria. Nos gustaría que comentara brevemente lo que están haciendo y que nos diga de qué grado es este grupo que tiene, qué consigna está trabajando y qué parte de la matemática se está viendo en este momento.
34P		El grupo que está aquí es el grupo de 3ºA.
35P		Estamos trabajando sobre semejanza de triángulos. Entonces, algunos de los ejercicios que marca la reforma es la semejanza. Entonces estamos viendo algunos problemas sobre eso.
36P		Salimos aquí al campo para hacerlo más práctico para que los alumnos tengan la evidencia concreta de lo que es cálculo de alturas de algunos árboles / postes, que muy difícilmente podemos ver hacia arriba.
37P		Pues con la semejanza de triángulos se resuelve este problema
38P		Lo que están haciendo es medir la sombra de algunos objetos y en base a eso, sacan la altura.
39E		Muy bien maestro, muchas gracias. Estas son las consignas desarrolladas actualmente por la reforma, ¿estamos viendo alguna consigna en especial?
39P		Claro que sí, la semejanza de triángulos

• A: Alumno/a - As: Alumnos - E: Entrevistador - P: Profesor
• Fuente: Elaborado por los autores.

Después del visionado del episodio de clase, se entrega la tarea de reflexión que se muestra en el Cuadro 1 y se trabaja en equipos de dos o tres estudiantes. Lo importante de esta fase no es el video como instrumento, sino la clase que se observa mediante el recurso tecnológico de la videograbación, y todavía más importante son las herramientas teórico-metodológicas que ayudan a identificar prácticas didácticas significativas en el devenir del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Cuadro 1
Tarea de reflexión didáctica (guía para los futuros profesores)

En el siguiente link encontramos un video de una clase de matemáticas: http://www.youtube.com/watch?v=60s_0Ya2-d8. Después de visionado el vídeo, y trabajando en equipos, elaborar un informe respondiendo a las siguientes cuestiones:

1) Descripción: ¿Qué sucede?

a. ¿Qué contenido matemático se estudia?

b. ¿Qué significados caracterizan el contenido estudiado?

c. ¿Cuál es el contexto y nivel educativo en que tiene lugar la clase?

d. ¿Qué hace el profesor?

e. ¿Qué hace el alumno?

f. ¿Qué recursos se utilizan?

g. ¿Qué conocimientos previos deben tener los alumnos para poder abordar la tarea?

h. ¿Qué dificultades/conflictos de aprendizaje se manifiestan?

i. ¿Qué normas (regulaciones, hábitos, costumbres) hacen posible y condicionan el desarrollo de la clase?

2) Explicación: ¿Por qué sucede?

a. ¿Por qué se estudia ese contenido?

b. ¿Por qué se usa un problema realista para estudiar el contenido?

c. ¿Por qué actúa el docente de la manera en que lo hace?

d. ¿Por qué actúa los alumnos de la manera en que lo hacen?

3) Valoración: ¿qué se podría mejorar?

Emitir un juicio razonado sobre la enseñanza observada en las siguientes facetas, indicando algunos cambios que se podrían introducir para mejorarla:

a. Epistémica (contenido matemático estudiado)

b. Ecológica (relaciones con otros temas, currículo)

c. Cognitiva (conocimientos previos, aprendizaje, etc.)

d. Afectiva (interés, motivación, etc.)

e. Interaccional (modos de interacción entre profesor y estudiantes)

f. Mediacional (recursos usados)

4) Limitaciones de la información disponible:

¿Qué información adicional sería necesario tener para que el análisis realizado fuera más preciso y fundamentado?

• Fuente: Adaptación de la tarea propuesta por Godino y Neto (2013) . Elaborado por los autores.

Fase de discusión y puesta en común

La discusión entre pares tuvo lugar durante el desarrollo de toda la tarea. La puesta en común de los apartados 1) Descripción y 2) Explicación se realizó durante la segunda sesión. A partir de la información recogida en esos dos apartados, los estudiantes trabajaron en equipos durante la última sesión de clase, en el apartado 3) Valoración y luego se realizó la puesta en común final.

El análisis a priori realizado por el equipo de investigación permite apoyar la puesta en común realizada en el seno de la clase, así como prevenir posibles conflictos de aprendizaje.

Fase de evaluación

Como se ha mencionado anteriormente, los procesos de valoración de acciones educativas son complejos ya que involucran diversas dimensiones y componentes. Así, para emitir un juicio razonado sobre las facetas epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional, tal como se pide en el Cuadro 1 , consideramos necesario que los estudiantes dispongan de dos semanas para terminar la tarea en formato portafolio, esto es, presentando un documento completo que muestre el desarrollo de todo el diseño.

Fase de valoración

Como cierre del ciclo de diseño, se les pidió a los estudiantes cumplimentar una encuesta anónima sobre los siguientes cinco aspectos:

1. Claridad de la tarea y de las consignas.

2. Adecuación de la metodología seguida (forma de trabajo, explicaciones del profesor, recursos utilizados).

3. Grado de motivación e interés suscitado por la experiencia.

4. Nivel de aprendizaje logrado.

5. Grado de pertinencia global del taller para tu formación como profesor de matemáticas.

Se les pidió valorar los ítems según la escala de [1-5], siendo 1: valor mínimo y 5: valor máximo. También se dejaba espacio para que añadieran cualquier comentario que consideraran pertinente para mejorar la actividad.

La encuesta fue cumplimentada por veintiséis de veintisiete estudiantes; la puntuación mediana en todos los ítems fue de 4; la puntuación mínima fue 2 y máxima 5. El análisis de la valoración hecha por los estudiantes aporta información valiosa para el análisis retrospectivo, como un medio de reflexión para los investigadores.

Resultados: indicadores de logro de aprendizaje

Cuando los estudiantes observan el video por primera vez, centran su atención en elementos concretos y conocidos para ellos como buenas prácticas ; de esta manera aparecen cuestiones valoradas positivamente como el uso de problemas con contexto, el trabajo grupal, la disposición de las mesas, el uso de recursos tecnológicos, la puesta en común, el respeto, la dinámica de la clase y el trabajo de campo. Sin embargo, el primer análisis que realizan está basado en características superficiales y sin conexiones entre la información recogida por los ítems de la guía de reflexión.

En la discusión conjunta se trata entonces de “[…] ayudar al profesorado en formación a adquirir competencias docentes profesionales” ( LLINARES, 2012 , p. 24) centradas en este caso, en hacer funcionar el sistema de indicadores y componentes estudiados previamente. De esta manera, es posible encontrar en las respuestas (portafolios) análisis más elaborados y organizados, donde los estudiantes buscan establecer conexiones claves entre esos elementos que les parecían, de alguna manera, importantes. Es importante destacar que de veinticuatro portafolios entregados en la etapa final, veinte de ellos presentan un análisis donde se proponen posibles mejoras para aumentar la idoneidad del proceso de estudio observado. Sin embargo, no todos los estudiantes se animan a dar una valoración baja, media o alta de cada faceta indicando que se requiere mucha información adicional para poder calificarlas.

A continuación, se muestran ejemplos prototípicos de respuestas significativas recogidas de la experiencia, considerando la reflexión de los estudiantes sobre cada una de las seis facetas. En este sentido, hemos tenido en cuenta cómo influyen sus respuestas aportadas en la primera y segunda parte de la tarea (descripción y explicación de la situación de enseñanza) para hacer la valoración de la tercera parte ( Cuadro 1 ). Se trata entonces, de confrontar el análisis de los participantes con el análisis a priori de los investigadores. Este último permite abrir un abanico de posibles respuestas expertas y poner así en evidencia la importancia de conocer y ser competente en el uso de la herramienta de idoneidad didáctica y formarse como profesionales reflexivos capaces de valorar y mejorar su propia práctica.

Faceta epistémica

Un punto clave para valorar la faceta epistémica (conocimientos matemáticos institucionales) consiste en reflexionar sobre el tipo de situaciones-problemas implementadas en el episodio de clase video-grabado. Si bien reconocen que no es posible observar en nueve minutos una muestra representativa y articulada de tareas de contextualización, ejercitación y aplicación, destacan la presencia de una guía de problemas sobre cálculo de alturas inaccesibles, como también el trabajo de campo en el patio de la escuela. Desde un punto de vista matemático, los futuros profesores reconocen que el contenido que se estudia permite poner en juego prácticas matemáticas (conocimientos, comprensiones y competencias) significativas y relevantes: proporcionalidad geométrica, función lineal, semejanza de triángulos, cálculo de alturas y distancias inaccesibles; valoran positivamente el tipo de problemas que permiten explorar este contenido, como también el tipo de lenguajes que movilizan.

El primer problema que se observa consiste en calcular la altura de un árbol a partir de un dibujo que modeliza la situación. Destacamos la siguiente respuesta (R) ⁴ de un estudiante:

R _1. Calcular la medida de alturas es útil para contextualizar, aplicar y ejercitar los contenidos de semejanza de triángulos y proporcionalidad. Además, este tipo de situaciones emplea distintos métodos de expresión: verbal-visual (en el patio); gráfica (interpretación de los datos); simbólica-aritmética (porque requiere de cálculos para resolver la tarea).

Sin embargo, los estudiantes en formación destacan aspectos importantes como: Falta de precisión en el lenguaje del profesor y conceptos referidos ( Tabla 1 , ítems 20P y 30P); asimismo, identifican aspectos que deberían mejorarse como la falta de situaciones para argumentar y generar definiciones o proposiciones:

R ₂ . Si bien las situaciones problemáticas que se manifiestan parecieran potenciar las conexiones entre los distintos conceptos, proposiciones y procedimientos, la ausencia de momentos de argumentación o justificación, hacen que la propia tarea se convierta en un mero ejercicio de aplicación de una regla. No significa que sea incorrecto, pero sería idóneo agregar consignas tales como: justifica tu respuesta, de esta manera los alumnos pueden establecer relaciones entre los conceptos previamente estudiados y el profesor puede evaluar su conocimiento sobre el tema.

El siguiente estudiante ha considerado previamente los significados que caracterizan la semejanza de triángulos para argumentar por qué deberían hacerse dichas mejoras; esto significa que ha tenido en cuenta el análisis obtenido de la parte 1 de la tarea de reflexión.

R ₃ . Si esto es un problema de contextualización [ Figura 1 ] es mejorable pues el problema tal como está planteado es un poco artificial. Existen aplicaciones de la semejanza a situaciones reales mejor planteadas, como por ejemplo, no solo calcular longitudes inaccesibles, sino también ¿cómo se representa la realidad? (representación en mapas, planos, etc.); ¿cómo se reproducen imágenes? (proyecciones); también utilizando diversos recursos materiales, dinámicos, o la misma historia de las matemáticas: ¿cómo empleó Thales los conocimientos sobre semejanza de triángulos para calcular la altura de la pirámide egipcia, o bien desde la etnomatemática aprovechando la variedad de culturas del país y dentro del aula. Tampoco se problematiza, por ejemplo, por qué este es un contexto de semejanza de triángulos.

Figura 1
Problema matemático planteado a los alumnos de la clase video-grabada.

Faceta ecológica

Los estudiantes lograron identificar componentes e indicadores que caracterizan esta faceta articulando sus respuestas con los análisis previos obtenidos de la parte 1 y 2 de la tarea. Valoraron la adecuación del contenido y su implementación según las directrices curriculares que marca la nueva reforma de México ⁵ (2011), la cual condiciona el desarrollo de la clase.

Como aspectos a mejorar, destacan la implementación de problemas que enfaticen las conexiones intra/interdisciplinares, así como situaciones de innovación y práctica reflexiva:

R ₄ . Si bien, el profesor intenta dar paso a la apertura de las nuevas tecnologías, [ Tabla 1 , ítem 19P] la observación de la clase video-grabada no permite poner en evidencia su uso real. No se trata solo de innovar como sugiere la reforma, se debe hacer de manera justificada respecto a las distintas actividades [consignas] propuestas.

Faceta cognitiva

Los estudiantes centraron su atención en los conocimientos previos necesarios para abordar el cálculo de alturas inaccesibles. Si nos detenemos en el apartado ¿Qué conocimientos previos deben tener los alumnos para poder abordar la tarea? de la tarea de reflexión ( Cuadro 1 ) solo tres de veinticuatro estudiantes, no responden regla de tres simple. Estos alumnos son conscientes que la regla de tres es un método y no el objetivo en sí; muestran coherencia en sus reflexiones destacando la importancia de aplicar correctamente los procedimientos. Por ejemplo, este alumno reflexiona:

R ₅ . En el trabajo de campo [los alumnos] recogen información y aplican el teorema de Thales cuando no se cumplen las condiciones del teorema (por ejemplo, paralelismo). Al menos deberían considerar determinados supuestos para poder resolverlo, o el profesor podría aprovechar el momento para hacerlo y así generar instancias de institucionalización.

El mismo estudiante agrega:

R ₆ . El profesor debe conocer el papel que juegan la argumentación y la validación a la hora de realizar una justificación matemática, las dificultades de los alumnos ante el razonamiento proporcional y la generalización de los contenidos explicados.

Los veintiún estudiantes restantes indican que la regla de tres simple es un conocimiento previo necesario para resolver las tareas. Entre estas respuestas, diecinueve creen que la semejanza de triángulos y teorema de Thales no son conocimientos previos. Además, valoran positivamente la faceta cognitiva, ya que consideran que los alumnos son capaces de aplicar satisfactoriamente la regla de tres, o al menos es un objetivo accesible.

Wilhelmi (2017) valora la idoneidad epistémica del estudio de la proporcionalidad en el desarrollo del currículo de educación secundaria. El autor señala que, si bien la regla de tres no se incluye de manera homogénea en los currículos internacionales ni en la misma etapa educativa, en el caso particular de España, la enseñanza de esta regla ha persistido en la escuela como modelo prototípico de la proporcionalidad. Si bien esto fue discutido en clase, pareciera que la regla de tres es un procedimiento que está muy arraigado en su formación, así como el uso deliberado de las relaciones de proporcionalidad:

R ₇ . Los alumnos usan la regla de tres porque los segmentos son proporcionales; eso se demuestra fácilmente midiendo los lados [señalando la Figura 1 ].

Con mayor énfasis, los dos estudiantes restantes afirman que el uso de la regla de tres simple es importante como conocimiento previo necesario para resolver la tarea. Sin embargo, sus reflexiones posteriores entran en contradicción ya que valoran en forma negativa el aprendizaje ligado a la aplicación de reglas y procedimientos mecánicos. Es decir, ¿cómo es posible considerar esta regla como un conocimiento importante y al mismo tiempo, considerar erróneo el aprendizaje mediante esta regla? En efecto, el uso que se hace habitualmente de la regla de tres en las escuelas es puramente instrumental “[…] ocultando en cierto modo la intervención de las razones y la proporción, lo cual puede comportar un significado degenerado de la proporcionalidad aritmética” ( GODINO et al., 2017 , p. 6-7).

Por último, los participantes no han emitido juicio de valor acerca de los aprendizajes logrados, ciertamente porque en el video no es posible observarlos, pero sí destacaron posibles dificultades de aprendizaje:

R ₈ . No todos los alumnos parten del mismo nivel inicial de conceptos y aprendizaje; por ejemplo, en el trabajo de campo, pareciera que no todos trabajan y que no todos entendieron las consignas. Podría deberse a que en la puesta en común no se discuten los diferentes resultados encontrados.

Otros, destacan dificultades cognitivas tales como: dificultad para encontrar una unidad de medida, dificultades con la noción de proporcionalidad directa , etc. Suponer conflictos de aprendizaje, es un avance en el proceso de reflexión profesional.

Faceta afectiva

Las valoraciones que se identifican respecto a esta faceta son muy superficiales, como: el trabajo de campo genera motivación; permite valorar la matemática en la vida cotidiana. Solo un estudiante valoró negativamente esta faceta:

R ₉ . Los alumnos no están interesados en la tarea. No todos trabajan y, seguramente, no todos aprenden, dado que no se observa argumentación en el trabajo matemático. Podría pensarse en grupos de trabajo más pequeños, involucrar otros materiales, motivarlos con preguntas y discutir los resultados.

Faceta interaccional

Las reflexiones de los estudiantes mantienen relación con la información obtenida de las preguntas previas; en general se observan competencias para reflexionar sobre los distintos modos de interacción: entre alumnos y docente, entre alumnos y sobre la autonomía de estudio. Los estudiantes identifican normas establecidas en clase como la disposición de las mesas, levantar la mano para llamar al profesor, el profesor como observador en la clase. Asimismo, emiten juicios razonables sobre éstos.

Respecto al rol del profesor, los estudiantes lo clasifican como el protagonista de la clase. Reconocen que la puesta en común tiene como objetivo exponer la respuesta al problema:

R ₁₀ . Pareciera que el alumno que pasa a la pizarra ya sabe que tiene bien sus resultados y además no será puesto en cuestionamiento. Sería idóneo darle la oportunidad a todos para confrontar sus resultados.

Cuatro respuestas que presentan análisis superficiales, tales como: Se produce un diálogo fluido entre los alumnos y el profesor, y entre los alumnos entre sí . Consideramos que es una falsa impresión creada por la manera de trabajo grupal.

Faceta mediacional

Los estudiantes en formación se refirieron al uso de distintos materiales manipulativos, como escasos y poco productivos , valorando esta faceta como poco idónea; sin bien reconocen la importancia de la guía de problemas y el uso de calculadoras, destacan que los recursos informáticos son muy valiosos en este tipo de contenidos y no están presentes:

R ₁₁ . Sería deseable el uso de software dinámicos para mostrar, por ejemplo, cómo varía la sombra de un árbol a medida que el sol transcurre por distintos puntos, así, generar momentos de estimación, comprobación de hipótesis, búsqueda de relaciones entre la altura y la sombra, sin necesidad de calcularla.

En el trabajo de campo, los alumnos utilizan reglas graduadas, pies, manos y otros elementos para medir las sombras; se ve que las medidas son pocos precisas. En este sentido, sugieren incorporar momentos donde el profesor pueda problematizar, como por ejemplo, discutir el problema de la precisión de la medida en el trabajo de campo y adquirir destreza en la medida correcta de longitudes.

Respecto a la cantidad de alumnos y el tiempo dedicado a la tarea, los estudiantes consideran que podrían resultar adecuados, pero faltan datos para valorar estos aspectos y otros como el horario en que se dicta esta materia y la distribución de tiempos a cada tarea.

Interacción entre facetas

Además de las valoraciones de cada faceta, tanto en las interacciones en clase, como en las respuestas escritas, los estudiantes manifestaron que las facetas analizadas se articulan unas con otras y que muchas veces resulta difícil diferenciarlas:

R ₁₂ . [Sobre la idoneidad cognitiva] Sería positivo para todos los alumnos realizar una puesta en común exponiendo no solo los resultados obtenidos, sino también las dificultades encontradas durante el desarrollo de la actividad, donde el profesor pueda usar diversos recursos para cuestionar a los alumnos e incluirlos en un ambiente donde tengan [los alumnos] que justificar sus resultados. En este caso, hablar de la dimensión cognitiva, implica también la afectiva e interaccional.

R ₁₃ . Es imposible centrar el análisis en una sola faceta. Esto me hace pensar en la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje, particularmente, de las matemáticas. Un ejemplo claro para mí está en el tiempo dedicado. Si bien en este caso no es posible saberlo, sin duda es un factor que afecta a todo el proceso de estudio: en lo ecológico: ¿cómo está diseñado el programa de la materia?, epistémico: ¿cómo se organiza el contenido?, cognitivo: ¿los conocimientos pretendidos están al alcance de los alumnos?, interacciones: ¿se tienen en cuenta momentos de trabajo individual, grupal, discusión, etc.? Al leer el artículo [ Godino, 2013 ] me di cuenta cómo este modelo permite tomar conciencia de estas relaciones.

Como se ve reflejado en este apartado, los resultados permiten mostrar la eficacia de este modelo teórico puesto en práctica, como también tomar conciencia de la importancia de incorporar el aprendizaje reflexivo en la docencia universitaria ( ALSINA, 2010 ).

Análisis retrospectivo del ciclo de diseño

Como investigadores reflexivos, es necesario realizar una mirada retrospectiva sobre el diseño y la implementación de este ciclo formativo, tomando consciencia de los límites y desafíos que quedan por superar.

En primer lugar, el análisis a priori de la situación didáctica revela una alta idoneidad epistémica-ecológica . Las etapas de implementación están articuladas y son adecuadas al nivel que se dirigen. En las situaciones de enseñanza propuestas se trata de que los estudiantes indaguen, interpreten, relacionen significados, discutan y argumenten. A la vez, el diseño propuesto muestra una apertura hacia la innovación basada en la investigación y en la práctica reflexiva. No hay que olvidarse que la clase video-grabada ofrece una pequeña ventana al mundo de la educación, y como recurso formativo es importante pensar que la información que se muestra es limitada ( SHERIN, 2004 ) y por lo tanto, los análisis de los estudiantes podrían ser superficiales. Para ello, la tarea de la Figura 1 propone que los estudiantes reflexionen con los aspectos que serían necesarios para que los análisis sean precisos y más detallados.

Respecto al objetivo de enseñanza, se trataba de iniciar a los estudiantes en su proceso de formación reflexiva. Los portafolios finales podrían haber sido más elaborados, apoyados en la búsqueda de información y lecturas sobre el contenido, sin embargo, los contenidos pretendidos se han podido alcanzar valorando como media la idoneidad cognitiva. Los futuros profesores participaron activamente en las discusiones grupales, a las cuales se les asignó un mayor tiempo de trabajo dado el interés que éstas promovían, y se involucraron en la puesta en común exponiendo sus argumentaciones y análisis crítico. Asimismo, se manifestaron comprometidos en la resolución y entrega de las tareas. Por otro lado, Cooney (1994) sostiene principalmente que, en estos procesos de desarrollo del nivel de reflexión, es necesario que los profesores sientan la motivación propia de reflexionar. En esta experiencia, el mayor interés para los estudiantes estuvo centrado en la observación de una situación real de aula , tal como señalan los resultados de investigaciones en el campo ( PONTE, 2011 ; CLIMENT et al., 2013 ) mostrándose alta la idoneidad afectiva. En la fase de valoración (descrita en el apartado Fase de valoración ), respecto al grado de motivación suscitado por la experiencia, un estudiante escribe:

Me hubiese encantado conocer esta herramienta [idoneidad didáctica] antes. Es muy útil por ejemplo para reflexionar sobre: cómo mirar lo que funciona mal en una clase, y qué aspectos podrían mejorarse.

Por otro lado, la baja idoneidad mediacional la atribuimos principalmente a las limitaciones del tiempo asignado. Si bien este tipo de investigaciones de diseño ocurren en ambientes reales de clase, donde no es posible disponer una mayor carga horaria, el corto período de tiempo entre las consignas implementadas permite poner en evidencia una gran limitación de este estudio. La discusión de las respuestas finales, entregadas en el portafolio, no tuvieron lugar en el seno de la clase. En este sentido, consideramos que un intercambio de respuestas finales hubiese proporcionado mayor oportunidad a los participantes para desarrollar formas de reflexión sobre las distintas facetas y apropiarse del marco teórico ofrecido por este diseño. En concordancia con otras investigaciones ( AMADOR, 2016 ), incluir experiencias adicionales, o bien pensar en ciclos continuos en la formación docente, sería beneficioso para que los futuros profesores adquieran una mayor competencia en la reflexión sobre la práctica.

En cuanto al nivel de interacciones en el aula, consideramos que ha sido alto, destacando el diálogo y las discusiones en el aula, la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase, la presentación adecuada del tema utilizando diversos recursos. Además, se contemplaron momentos de estudio autónomo y evaluación continua.

Conclusiones

En este artículo se han planteado dos cuestiones principales:

1. ¿Qué herramientas teóricas podrían estar al alcance de los futuros profesores de matemáticas, que les ayuden a reflexionar, de manera sistemática, sobre los procesos educativos que se llevan a cabo?

2. ¿Qué tipo de estrategias son factibles para formar profesionales reflexivos?

Con relación a la primera cuestión hemos mostrado que el sistema de facetas, componentes e indicadores de idoneidad didáctica permite poner en acción puntos de decisión claves para la reflexión y la apertura hacia la introducción de cambios fundamentados. La idoneidad didáctica, como constructo teórico y metodológico, es una herramienta que se viene implementando en la formación de profesores en diversas universidades españolas y latinoamericanas (BREDA; FONT; LIMA, 2015). Otros autores también han destacado su uso para la propuesta de mejoras de unidades didácticas, como muestran Castro y otros autores (2013).

Respondiendo a la segunda cuestión, este trabajo propone un ejemplo de investigación de diseño en el cual se hace operativa esta herramienta en las diferentes etapas de implementación. Si bien los distintos factores que afectan los procesos educativos son complejos, los participantes de este estudio han valorado positivamente este tipo de situaciones didácticas para su formación, destacándolas como necesarias; más aún, resaltando su utilidad para la etapa siguiente de su labor profesional: planificación de clases e implementación de prácticas profesionales en una institución escolar. Vale la pena destacar que tres estudiantes han continuado su tesis de maestría utilizando la ID a partir de la reflexión de su propia práctica.

Por otro lado, el uso de videograbaciones como recurso ha sido ampliamente reconocido en la formación de profesores ( ALSAWAIE; ALGHAZO, 2010 ), y sin duda se ha revelado como una estrategia de formación idónea, permitiéndole a los estudiantes “[…] ver una lección desde la perspectiva de un observador” ( SHERIN, 2004 , p. 22). Sin embargo, no hay que olvidarse que “[…] es la reflexión sobre y el análisis de la práctica de enseñar matemáticas la que crea las condiciones para la construcción del conocimiento útil para enseñar matemáticas” ( LLINARES; VALLS, 2009 , p. 9). Esta reflexión puede estar apoyada en episodios de clases video-grabadas, fragmentos transcriptos, situaciones creadas, o las propias experiencias de enseñanza.

Referencias

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• 4
  - Se considera R ₁ , R ₂ , y así sucesivamente a cada respuesta dada por los estudiantes en formación.
• 5
  - La reforma curricular (2011), no es una reforma radical. Los principales puntos de atención están en el desempeño docente, en lo que refiere al diseño de situaciones didácticas, reorganización del ambiente de enseñanza y formas de trabajo en el salón de clases, dando lugar a distintas relaciones entre alumnos, maestro, y contenido, junto con el empleo de recursos de lectura, audiovisuales e informáticos. Algunos de esos puntos críticos son mencionados al final del video propuesto.

• 1
  - Investigación realizada como parte del proyecto de investigación EDU2016-74848-P (FEDER, AEI) y grupo de investigación FQM-126 (Junta de Andalucía, España).

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  2018

Histórico

• Recibido
  15 Nov 2016
• Revisado
  21 Feb 2017
• Acepto
  21 Mar 2017