Resumo
Este artigo visa descrever aspectos teóricos e metodológicos de pesquisas sobre o conceito de função na formação continuada, a partir da realização de uma revisão sistemática da literatura. A revisão sistemática foi realizada, segundo os princípios do Preferred Reporting Items for Systematic reviews and Meta-Analyses (PRISMA), e os artigos revisados foram categorizados, a fim de identificar os contextos formativos para uma reflexão sobre as abordagens teóricas e as estratégias metodológicas utilizadas nas pesquisas. Os resultados, comunicados em uma metassíntese e condensados em um quadro, apontam direcionamentos teórico-metodológicos de momentos formativos centrados no estudo do conceito de função e evidenciam a necessidade de dominar os recursos didático-pedagógicos a serem utilizados, de coordenar o processo de transição do conhecimento aritmético para o algébrico e de gerenciar os processos de avaliação e formação, destacando oportunidades de aprendizagem profissional.
Formação de Professores; Professor que Ensina Matemática; Conhecimentos Profissionais Docentes
Abstract
This article aims to describe theoretical and methodological aspects of research on the concept of function in teaching training education based on a systematic literature review. The systematic review was conducted according to the principles of the Preferred Reporting Items for Systematic reviews and Meta-Analyses (PRISMA), culminating in the categorization of the reviewed articles in order to identify the formative contexts for a reflection on the theoretical approaches and methodological strategies used in surveys. The results, communicated in a meta-synthesis and condensed in a table, point to theoretical-methodological directions of formative moments on the concept of function, evidencing the need to master the didactic-pedagogical resources to be used, to coordinate the knowledge transition process from arithmetic to algebraic and managing assessment and training processes, highlighting professional learning opportunities.
Teacher education; The teacher who teaches mathematics; Professional teaching knowledge
1 Introdução ao contexto de estudo e percursos metodológicos
A formação do professor pode ser compreendida como o caminho para a promoção de momentos de planejamento de aula, da prática docente e da produção de conhecimento, orientados por discussões vinculadas a conceitos matemáticos, no que se refere aos seus aspectos pedagógicos, didáticos e específicos. Neste contexto, a promoção de oportunidades para refletir sobre diversas interpretações e experiências de matemáticos e educadores matemáticos e constituir uma diversidade de configurações comunicativas específicas que abordam conceitos matemáticos, dentre eles, o conceito de função, ocorre no contexto da formação de professores (Santos, 2017SANTOS, G. L. D. Um modelo teórico de Matemática para o ensino do conceito de função. 2017. 165 f. Tese (Doutorado em Ensino, Filosofia, História e Ciências) - Universidade Federal da Bahia (UFBA), Universidade Estadual de Feira de Santana, Salvador, 2017.).
A temática de funções se configura como uma das quatro dimensões da Álgebra, juntamente com as temáticas de equações, de dimensão estrutural e aritmética generalizada (Ponte; Branco; Matos, 2009; Usiskin, 1994USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações de variáveis. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P (orgs.). As ideias da Álgebra. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.), e seu conceito desempenha um importante papel na descrição, na interpretação e na construção de gráficos para representação de fenômenos naturais, assim como no estabelecimento de conexões com outros conceitos matemáticos (Gonçalves, 2015GONÇALVES, A. C. Aspectos da história do conceito de funções e suas representações por diagramas, linguagem algébrica e gráficos cartesianos. 2015. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2015.). Em complementação, para Tabach e Nachlieli (2015)TABACH, M.; NACHLIELI, T. Classroom engagement towards using definitions for developing mathematical objects: the case of function. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 90, [s.n.], p. 163-187, 2015., o ensino do conceito de função pode apresentar contratempos didáticos, visto que o uso correto desse conceito por parte dos estudantes não implica que detenham os conhecimentos para utilizá-la na identificação de outros objetos matemáticos, embora estes já tenham sido explicitados na sala de aula.
Nessa perspectiva, Ribeiro e Cury (2015)RIBEIRO, A. J.; CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor: explorando os conceitos de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica, 2015. apresentam pesquisas que abordam os conhecimentos algébricos de professores e estudantes, no que tange às dificuldades de aprendizagem do conceito de função. Em sua pesquisa, as práticas em sala de aula são consideradas os alicerces para modificações nos cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática em relação ao ensino de Álgebra.
A prática pedagógica coloca em ação os conhecimentos profissionais do professor que ensina Matemática, e a compreensão do conceito de função é mobilizada na formação inicial e na continuada (Pazuch; Ribeiro, 2017PAZUCH, V.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento profissional de professores de matemática e o conceito de função: uma revisão de literatura. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 19, n. 1, p. 465-496, abr.2017). Adicionalmente, Pazuch e Ribeiro (2017)PAZUCH, V.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento profissional de professores de matemática e o conceito de função: uma revisão de literatura. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 19, n. 1, p. 465-496, abr.2017 apontam que, mediante as dificuldades de aprendizagem e os eventuais obstáculos associados ao contexto da prática pedagógica, pode ocorrer a ressignificação dos conceitos. Neste aspecto, distintos e novos significados são atribuídos ao conceito de função e ao conhecimento dos professores para o ensino no processo contínuo de formação.
Desta forma, este artigo estabelece como objetivo descrever aspectos teóricos e metodológicos de pesquisas sobre o conceito de função na formação continuada. Para tanto, nesta revisão de literatura interessa sistematizar aspectos teóricos e metodológicos presentes nos artigos de pesquisa selecionados e sintetizar as informações relacionadas ao ensino do conceito de função na formação continuada do professor que ensina Matemática. Assim, os procedimentos metodológicos delimitados visam identificar, selecionar e avaliar criticamente pesquisas relevantes da área de Educação Matemática para, porventura, utilizá-las na produção e na análise de dados em estudos futuros.
Segundo Knopf (2006)KNOPF, J. W. Doing a literature review. PS: Political Science and Politics, Washington, v. 39, n. 1, p. 127-132, 2006., as revisões da área de Ensino, comumente, partem de uma amostragem não sistematizada e com critérios não explicitados, de modo que não especificam os métodos utilizados para identificar, selecionar e analisar os estudos revisados. Ao mesmo tempo, tal modelo permite delimitar interpretações gerais e discussões críticas sobre os trabalhos da revisão de literatura, muito embora essas revisões não discriminem a inclusão ou não de determinados trabalhos da literatura.
Assim, ao considerar essas limitações apresentadas em Knopf (2006)KNOPF, J. W. Doing a literature review. PS: Political Science and Politics, Washington, v. 39, n. 1, p. 127-132, 2006., para esta revisão de literatura recorremos aos princípios estabelecidos pelo Preferred Reporting Items for Systematic reviews and Meta-Analyses (PRISMA), por suas instruções apresentadas de forma clara, pelo reconhecimento e pela utilidade do modelo em diferentes áreas de pesquisa (Moher et al., 2009). Com isso, para a revisão foram incorporadas etapas de: (i) identificação, triagem e seleção de publicações, (ii) leitura e avaliação crítica dos artigos selecionados e (iii) apresentação dos resultados.
1.1 Estratégia de busca e seleção das fontes de informações da revisão de literatura
A busca e a seleção dos artigos foram realizadas nas bases de dados Scielo, Math Educ Database, Web of Science (WoS) e Scopus. A escolha dessas bases se deve ao alcance e à disseminação de trabalhos, em função da disponibilização de acessos fornecidos às bases de indexação de artigos pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), através do Portal de Periódicos CAPES. Isso viabiliza à pesquisa uma abrangência sui generis. Decorrente dessa garantia de representatividade, a utilização das bases de dados tem por escopo facilitar a organização do banco de artigos da revisão e a quantificação de determinadas informações. É importante ressaltar que uma limitação da pesquisa é a não apuração de todas as bases existentes.
Particularmente, as bases Scopus e WoS contam com 309 e 114 títulos de revistas brasileiras indexadas, respectivamente, comprovando que a Scopus possui maior cobertura que a WoS, visto que contém mais do que o dobro de revistas incorporadas no contexto internacional e nacional (Rodrigues; Quartiero; Neubert, 2015). No entanto, Packer (2011)PACKER, A. Os periódicos brasileiros e a comunicação da pesquisa nacional. Revista USP, São Paulo, [s.v.], n. 89, p. 26-61, 2011. expressa que há entraves para a integração de produções científicas brasileiras e de outros países em desenvolvimento nas bases internacionais de informação científica. Por essas razões, optamos por utilizar a base de dados Scielo, que tem forte representatividade no Brasil (Vicente et al., 2017), devido à quantidade de publicações em português e espanhol nas áreas de Ensino e Educação.
A base Math Educ Database é especializada no campo da Educação Matemática, assim como em publicações dedicadas à comunicação das habilidades matemáticas em escolas e universidades (Ruffer-Henn; Wegner, 2010RUFFER-HENN, B.; WEGNER, B. MathEduc - the reference database for teaching and learning mathematics. Eur. Math. Soc. Newsl, Berlim, v. 1, n. 77, p. 55-56, 2010.). A determinação das quatro bases para esta revisão de literatura abrange artigos relevantes no âmbito internacional e nacional classificados no campo da Educação Matemática. Com isso, procuramos identificar os termos de busca que seriam adequados aos objetivos do estudo, sendo utilizados os termos conceito de função e formação de professores presentes no corpo do texto, organizados no Quadro 1.
Todas as buscas foram realizadas em 31 de julho de 2019, considerados todos os tipos de publicações no período de janeiro de 2009 até o fim do mês de julho de 2019. Dessa forma, estabelecemos um ano inicial de publicação para inclusão dos trabalhos ao nosso banco de dados, a fim de apresentar resultados nas pesquisas de Educação Matemática sobre esta temática – ensino do conceito de função na perspectiva da formação de professores – no período supracitado.
A pesquisa organizada em cada base de dados considerou todos os campos (toda a estrutura e o corpo dos trabalhos) em que as expressões de busca apresentadas no Quadro 1 pudessem ser identificadas. No Quadro 2 são relacionadas as estratégias de busca, juntamente com o número de resultados computados para cada base de dados, contemplando o banco de dados inicial para a revisão de literatura.
Assim, especificamos o número total de publicações adquiridas em cada base: 232 na base de dados Scopus, uma na base WoS e duas na base Math Educ. Não foram encontradas, na base de dados da Scielo, publicações conforme os termos dispostos no Quadro 2, apesar da relevância em território brasileiro apontada pela pesquisa de Vicente et al. (2017).
1.2 Apresentação dos critérios de seleção e exclusão dos artigos analisados
Num primeiro momento, foram excluídas as publicações identificadas no processo de triagem e caracterizadas como cartas, editoriais, resenhas, comentários, capítulos ou livros completos. Porém, posteriormente, o processo de seleção agrupou-as nestas categorias: a) formação continuada de professores que ensinam Matemática; b) formação inicial de professores que ensinam Matemática; c) ensino e aprendizagem de estudantes da Educação Básica; d) estudos teóricos e revisões de literatura; e) termo conceito de função presente apenas nas referências da publicação – isto é, não há discussão proveniente deste assunto, a referência é apresentada no artigo para justificar outro tópico matemático, e não se enquadra no escopo de pesquisa do presente trabalho. Assim, a revisão sistemática contemplou quatro etapas (Figura 1):
– Diagrama, segundo os critérios do PRISMA, representando a amostragem das publicações em cada estágio da revisão sistemática
Legenda: Nps representa a base de dados Scopus; Npw, a base de dados Web of Science; Npsci, a base de dados Scielo; e Npm, a base Math Educ. Np corresponde ao número de publicações, Ne é o número de publicações – livros e capítulos de livros, relatórios etc. – que não se enquadram como artigos, Nr representa o número de artigos repetidos, Ni corresponde ao número de arquivos indisponíveis para leitura completa do texto e Na, ao número total de artigos obtidos na fase de triagem. Ns se refere ao número de artigos excluídos após a aplicação dos filtros de seleção e Ncorpus representa a quantidade final de artigos a serem analisados.
As etapas apresentadas na Figura 1 compõem: (i) identificação (levantamento preliminar das publicações), (ii) triagem (exclusão de publicações repetidas, não disponíveis ou não enquadradas como artigos, isto é, capítulos de livros, relatórios, entre outros), (iii) seleção (análise detalhada dos artigos: após a leitura dos resumos, dos objetivos e das metodologias dos textos, excluímos aqueles cujas concepções e discussões sobre o conceito de função não eram o foco principal da revisão) e (iv) inclusão (fechamento do banco de dados), totalizando 16 artigos que compõem o corpus de análise deste texto. Destacamos que, após a etapa de seleção dos artigos, excluímos os artigos que abordavam, sobre o termo função, outras concepções que não estivessem relacionadas ao campo da Matemática – por exemplo, o significado do termo como atividade natural ou característica de algo, ou como obrigação a cumprir, papel a desempenhar.
2 Sínteses interpretativas dos artigos
Nesta seção, propomos a produção de sínteses interpretativas de cada artigo. Segundo Fiorentini e Crecci (2017)FIORENTINI, D.; CRECCI, V. M. Metassíntese de pesquisas sobre conhecimentos/saberes na formação continuada de professores que ensinam matemática. Zetetiké, Campinas, v. 25, n. 1, p. 164-185, 2017., uma síntese interpretativa não é um resumo do artigo analisado, mas uma produção interpretativa analítica feita pelos pesquisadores, destacando seu objetivo ou questão de pesquisa e o modo como a questão foi respondida. As sínteses analíticas e interpretativas elaboradas contemplam informações dos 16 artigos selecionados, que são o corpus final de análise.
A priori foram estabelecidas categorias para classificar os artigos conforme a abordagem metodológica predominante em cada contexto de formação continuada escolhido pelos autores de cada artigo (Quadro 3).
– Categorização dos artigos do corpus de análise de acordo com a abordagem metodológica predominante na pesquisa
No primeiro grupo relacionamos seis artigos que utilizaram a criação de programas e/ou cursos de formação para professores como estratégia metodológica para interagir em seus respectivos contextos de formação continuada, os quais utilizaram unicamente os protocolos, as interações e as discussões entre os professores participantes para compor os dados para análise em cada artigo.
Ribeiro e Ponte (2019)RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. Professional learning opportunities in a practice-based teacher education programme about the concept of function. Acta Scientiae, Canoas, v. 21, n. 2, p. 49-74, mar./abr. 2019. estruturam o objetivo de seu estudo em torno do potencial das oportunidades de aprendizagem profissional (OAP) e de um curso voltado à formação continuada de professores com aporte à prática em sala de aula. As OAP oferecem uma base às discussões a respeito das dificuldades dos estudantes, dos recursos, das abordagens de ensino e do grau de dificuldade das tarefas, cujas TAP utilizadas permitiram estabelecer diferentes significados de conceitos algébricos mobilizados no processo de ensino e proporcionaram discussões das compreensões dos estudantes e do uso de diferentes representações do conceito de função. Ademais, a proposta formativa dos autores possibilitou o trabalho coletivo e discussões com foco na prática de professores em torno das TAP e dos conhecimentos matemáticos e didáticos para o ensino do conceito de função.
Gierdien (2014)GIERDIEN, M. F. On the use of spreadsheet algebra programs in the professional development of teachers from Selected Township High Schools, African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, South Africa, v. 18, n. 1, p. 87-99, 2014. considera em seu trabalho que, para a transição da Aritmética para a Álgebra, deve ocorrer uma conceitualização de funções, em que três áreas inter-relacionadas se destacam. Primeiramente, o contexto educacional, estabelecido pela teoria da prática social; em segundo, o fortalecimento e a consolidação das compreensões docentes sobre funções; e, por fim, o uso de planilhas (folhas de cálculo) para o ensino de inequações pelos professores. A abordagem do conceito de função oportunizou tentativas de rupturas e descontinuidades entre a aritmética e a álgebra ao longo dos anos de ensino, sendo estas vistas como evidência da exclusão da denominada álgebra de lápis-papel pelos professores, enquanto se faz uso das planilhas para visualizar a dualidade processo-objeto, associando as tabelas às incógnitas da lei de formação.
Steele, Hillen e Smith (2013) descrevem mudanças no conhecimento matemático para o ensino (Mathematical Knowledge for Teaching – MKT), para o ensino de funções, através da identificação de tarefas relacionadas a funções e em trabalhos de estudantes que apresentavam tipos de funções e não funções, a fim de elaborar um mapa (núcleo) de progressão de atividades realizadas. Neste aspecto, os professores demonstravam maior facilidade em identificar e fornecer exemplos de funções, ao invés de propor definições precisas sobre o conceito, observando uma alteração nas habilidades relacionadas à manifestação, com maior fluência, ao conectar as representações e mobilizá-las, a fim de significar uma situação matemática envolvendo funções. Em contrapartida aos resultados pressupostos pelos autores, que esperavam que o Conhecimento Comum do Conteúdo relacionado a funções dos professores fosse mais dominante, os professores apresentaram alterações no Conhecimento Especializado do Conteúdo, no qual aspectos do MKT estão vinculados a uma sistemática de oportunidades sujeitas às realizações dos estudantes.
Weber, Tallman e Middleton (2015) buscaram abranger os assuntos de proporcionalidade, funções e taxas de variação com base nos conhecimentos previstos para professores que atuam no Ensino Fundamental, tomando o conteúdo de termodinâmica como temática para a aplicação de modelagem, visando contribuições ao MKT. Ao utilizarem a termodinâmica, os professores se acostumaram a pensar sobre funções como uma relação invariante entre quantidades e, assim, foram capazes de elaborar experimentos e dados avaliativos a partir de um entendimento que busca por padrões. Consequentemente, os diferentes padrões culminaram em diferentes tipos de função, que podem representar fenômenos naturais, possivelmente modificando a forma de conceitualizar a ideia de função.
Busch, Barzel e Leuders (2014) delimitam como escopo de pesquisa investigar competências por meio de um diagnóstico no campo das funções e dos gráficos e na forma de realizar melhorias em seu ensino. O trabalho realizado com tarefas de estudantes levantou razões hipotéticas para possíveis erros, como também diagnósticos individuais e coletivos relativos ao pensamento funcional dos estudantes, comparações de definições variadas do conceito de função em livros didáticos e identificação dos pontos fortes e fracos da análise das experiências propostas.
O estudo de Asghary, Shahvarani e Medghalchi (2013), por sua vez, considerou a avaliação de desenvolvimento profissional e matemático através de mudanças nas convicções epistemológicas e nas experiências de desenvolvimento profissional. Ao verificarem a elaboração de tarefas não apenas como recurso, mas como indicador da maestria dos professores sobre assuntos e processos definidos pelo pensamento funcional, os autores evidenciaram as categorias de pensamento funcional que permitiram abordar o pensamento algébrico e apresentar exemplos e tarefas vinculados a cada categoria. Esse trabalho contribuiu para a proficiência docente no raciocínio algébrico e para a quebra da resistência ao trabalho com as várias representações do conceito de função por meio de estratégias de ensino.
O segundo grupo de pesquisas reúne dois artigos e, similarmente ao primeiro, refere-se aos estudos que optaram por organizar programas e/ou cursos de formação continuada, porém os pesquisadores decidiram inserir, nos dados coletados com os professores participantes da pesquisa, os resultados apresentados pelos alunos desses professores.
Sharpe e Schliemann (2017)SHARPE, S. T.; SCHLIEMANN, A. D. Teacher development and seventh graders' achievement on representing and solving equations. The Mathematics Enthusiast, Montana, v. 14, n. 1, p. 469-507, 2017. propuseram examinar a forma como, durante o ano acadêmico, se relacionam os resultados dos estudantes ao nível de conhecimento matemático sobre álgebra, funções e gráficos de seus professores. Em termos de resultados, destaca-se o fato de estudantes – de baixo e alto nível – de professores participantes da pesquisa terem mostrado melhoria substancialmente maior do que os estudantes de professores não participantes, em razão do envolvimento da matemática na discussão de fenômenos cotidianos e científicos, do uso de diferentes representações e das considerações sobre a aprendizagem dos alunos nas discussões com um grupo de perfil heterogêneo.
Jankvist e Niss (2015)JANKVIST, U. T.; NISS, M. A. A framework for designing a research-based "mathematics counsellor" teacher programme. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 90, n. 3, p. 259-284, 2015. propõem, a partir da união entre teoria e prática, que professores identifiquem, observem e trabalhem com estudantes do Ensino Médio tratando de suas dificuldades em matemática. Neste aspecto, os autores pontuam similaridades, ao tratar do conceito de função, visto que os estudantes são capazes de fornecer uma correta definição do conceito de função; no entanto, não estão aptos para identificar se um objeto apresentado é uma função ou não, principalmente quando não estão representados em sua forma algébrica. Desse modo, a compartimentalização mental da compreensão de um conceito indica a ausência ou revela a localização distinta da compressão conceitual do estudante, podendo sobrepor interpretações sem se tornarem idênticas e, consequentemente, podem conduzir a incoerências e à formação de conceitos inconsistentes.
Os próximos três artigos compõem o terceiro grupo. Os autores optaram por analisar as ações e as práticas dos professores em sala de aula e abranger os dados dos professores e dos estudantes, compostos por uma variedade de estratégias metodológicas, como a análise de protocolos, aplicação de testes, realização de entrevistas, entre outras.
O estudo de Brunstrom e Fahlgren (2015) aponta e elabora variáveis didáticas essenciais para o planejamento prévio de tarefas que promovem o raciocínio de estudantes sobre funções exponenciais, com base na elaboração de sequências de ensino com uso do software de matemática dinâmica GeoGebra. Ao tratar de compreensões errôneas do conceito de função, é importante delimitar especificamente a forma de representação da função para compreender possíveis equívocos dos estudantes, evidenciando que as variáveis didáticas promovem a reflexão do significado matemático para, posteriormente, desenvolver um raciocínio conceitual, sendo ainda obstáculo para os estudantes a transição de uma abordagem de covariação para uma abordagem de correspondência. O uso dessas variáveis didáticas facilitou aos professores a identificação de escolhas importantes no processo de planejamento e construção de uma tarefa, além de encorajar a apresentação de explicações e argumentos para determinar as trajetórias de aprendizagem e suscitar o raciocínio dos estudantes.
Bayazit (2010)BAYAZIT, I. The influence of teaching on student learning: The notion of piecewise function. International Electronic Journal of Mathematics Education, Modestum, v. 5, n.3, p. 146-164, 2010. examina a influência da instrução de ensino de professores, conjuntamente com a compreensão dos estudantes de 9.º ano sobre conceitos mobilizados no estudo de função por partes. Assim, utilizou-se de estratégias de amostragem1 1 Levantamento dos conhecimentos prévios, aspectos socioeconômicos, dentre outros fatores relacionados à relação professor-escola, à estrutura escolar e às qualificações em Matemática dos professores. para definir o perfil dos estudantes com base nos resultados dos testes e nas recomendações dos professores para identificar alunos de baixo, médio e alto aproveitamento, abarcando os dados referentes aos estudantes. Desse modo, os resultados dessa pesquisa apontam as noções de ação e processo de conceitos de função em que os professores, notavelmente, diferem em suas abordagens sobre os fundamentos de uma função e, consequentemente, geram nos estudantes impressões distintas no entendimento deste conceito, visto que se utilizam da definição de função para encorajar o pensamento visual dos estudantes e o estabelecimento de relações entre as representações. Ou enfatizam os procedimentos ao invés do conceito, apresentando as propriedades da função e vinculando suas analogias somente ao contexto do estudante, sem considerar o elo entre a analogia e o conceito ensinado.
Hatisaru e Erbas (2017)HATISARU, V.; ERBAS, A. K. Mathematical knowledge for teaching the function concept and student learning outcomes. International Journal of Science and Mathematics Education, Taiwan, v.15, [s.n.], p. 703-722, 2017., por sua vez, propuseram um estudo para examinar o potencial das inter-relações entre o MKT, elaborado por Ball, Thames e Phelps (2008), mobilizados por professores sobre o conceito de função, e os respectivos desfechos na aprendizagem desse conceito por seus estudantes. Dentre os resultados, destacamos que o conhecimento especializado do conteúdo dos professores sobre o conceito de função se estabeleceu como uma condição necessária para o conhecimento do conteúdo e dos estudantes e estes conhecimentos influenciaram na prática instrucional e nas oportunidades e experiências de aprendizagem dos estudantes. Nesse aspecto, alguns dos resultados dos estudantes se desenvolveram independentemente do MKT ou de experiências de ensino, de maneira que alguns deles são inerentes às complexidades próprias do conceito, ou às dificuldades aritméticas que prejudicam a transição para construção de conceitos algébricos.
As pesquisas que compõem o quarto grupo observaram a prática docente em sala de aula, porém, optaram por restringir suas análises às ações do professor, diferentemente dos pesquisadores do terceiro grupo.
Rodriguez-Flores et al. (2016) determinam três objetivos específicos, os quais visam descrever o processo de ensino, identificar os componentes do Conhecimento Comum do Conteúdo e determinar indicadores deste conhecimento manifestados por um professor, a fim de caracterizar este conhecimento no ensino do conceito de função. Com isso, os pesquisadores descrevem as ações do professor participante no que tange à incorporação de conhecimentos prévios em suas explicações e à abordagem de conceitos relacionados ao conceito de função, sendo que os componentes do Conhecimento Comum do Conteúdo revelaram o uso adequado de procedimentos, ou seja, o domínio procedural para abordar conhecimentos específicos, os quais admitem uma série de passos e ações para reconhecer as relações que correspondem a funções. Já para os indicadores, os conceitos analisados ressaltaram o vínculo com os conhecimentos matemáticos para o ensino, que, na prática, como no caso do conhecimento do conteúdo e dos estudantes, o professor foi capaz de reconhecer o conteúdo e a gama de respostas adequadas ou inadequadas, a qual aproveita para reafirmar ou rever o significado dos conceitos.
A pesquisa de Drijvers et al. (2010) utiliza a teoria da orquestração instrumental2 2 A orquestração define a organização sistemática e intencional dos professores no ambiente de aprendizagem com o uso de diferentes artefatos – mais especificamente para o trabalho de Drijvers et al. (2010), os recursos tecnológicos. A teoria que Trouche (2004) apoia refere-se à orientação dos professores na gênese instrumental dos estudantes no momento em que orquestram situações matemáticas. como estrutura interpretativa do seu estudo, que foca na investigação dos tipos de orquestrações que os professores desenvolvem ao usar a tecnologia, no papel da tecnologia neste âmbito e na forma como ela está relacionada à visão dos professores na educação matemática. No arranjo de aprendizagem proposto para a orquestração das professoras, o conceito de função foi conceituado por meio de tarefas input-output, isto é, tarefas para estabelecer dados de partidas e resultados do processo. A análise das observações de comportamento de ensino e possíveis invariantes da orquestração no uso de tecnologias pelas professoras voluntárias abrangeu o conhecimento da complexidade de utilizar-se de tecnologias na educação matemática e identificou a necessidade de as orquestrações serem conduzidas mediante os conhecimentos mobilizados pelas professoras em suas experiências e visões da educação matemática e do papel das tecnologias nesse âmbito.
Watson e Harel (2013)WATSON, A.; HAREL, G. The role of teachers' knowledge of functions in their teaching: A Conceptual Approach with illustrations from two cases. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontario, v. 13, n. 2, p. 154-168, 2013. propõem investigar se o conhecimento matemático pessoal de alto nível pode impactar no ensino de uma escola de baixo nível e como isso se processa. A análise dos dados considerou o tratamento de funções em uma cultura orientada por livros didáticos e por manifestações da autonomia do professor, em fluxo de conhecimento. Com relação ao desenvolvimento dos conceitos vinculados ao estudo de funções, os autores constataram que o ensino conduzido por professores com conhecimentos de função avançados (function aware) possibilita construir a compreensão do conceito de função em fluxo, ou seja, a partir de outros conceitos. Além disso, o uso do termo função com estudantes possibilitou experiências significativas que estimulassem sua necessidade intelectual, utilizando-se de um design curricular de matemática que reforçasse o processo contínuo de progressão conceitual entre assimilação e acomodação.
O quinto grupo está relacionado a dois estudos que apresentaram como procedimento metodológico predominante, em seus respectivos contextos de formação continuada, a aplicação de formulários avaliativos ou questionários, além de entrevistas com os professores participantes da pesquisa.
O objetivo do trabalho de Reckase et al. (2015) consiste na produção de um instrumento avaliativo como recurso para realizar pesquisas e avaliação do desenvolvimento profissional e da formação de professores, para investigar as conexões entre a efetividade do MKT de professores em termos dos efeitos na aprendizagem dos estudantes. Dados os três tipos de conhecimentos envolvidos – o escolar, o avançado e o de ensino –, os parâmetros de design para a construção do instrumento avaliativo foram distribuídos em domínios do conhecimento matemático. Dentre os resultados, os professores estabeleceram hipóteses sobre o desempenho dos alunos, o que refletiu em múltiplos tipos de conhecimentos necessários para o professor que ensina matemática, como, por exemplo, o conhecimento sobre os conceitos, os procedimentos, as representações, as aplicações e o raciocínio para o planejamento da aprendizagem dos estudantes.
Kop et al. (2015), por sua vez, propõem um quadro para descrever as várias estratégias para fórmulas gráficas com reconhecimento e heurística como dimensões. A estratégia de reconhecimento corresponde ao repertório básico de funções, aos sentidos dos símbolos e à decomposição de expressões algébricas em menores expressões, enquanto o processo heurístico está vinculado às perspectivas de função como processo-objeto, em que o conceito de função é definido como uma regra de cálculo. Os autores observaram, com respeito às estratégias de resolução das tarefas, que os especialistas apresentaram uma quantidade menor de etapas, maior reconhecimento e heurística na resolução, em comparação aos professores não especialistas, sendo que os professores recorreram a uma forte heurística, como um raciocínio qualitativo das fórmulas gráficas.
3 Sínteses integrativas dos grupos de categorias dos artigos
Neste artigo, propusemos uma revisão sistemática da literatura, a fim de descrever aspectos teóricos e metodológicos de pesquisas sobre o conceito de função na formação continuada. A partir das sínteses interpretativas de cada artigo, elaboramos uma síntese das principais considerações de cada grupo de estudo, isto é, sínteses integrativas destacando os elos teóricos e metodológicos de pesquisa dos contextos de formação continuada.
Integrando-se as sínteses interpretativas do primeiro grupo, podemos destacar a utilização de tarefas nos programas e nos cursos de formação continuada ou, como especificado por Ribeiro e Ponte (2019)RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. Professional learning opportunities in a practice-based teacher education programme about the concept of function. Acta Scientiae, Canoas, v. 21, n. 2, p. 49-74, mar./abr. 2019., o uso de TAP como instrumentos para oportunizar a aprendizagem profissional. Neste aspecto, a utilização de tarefas regulares no contexto educacional dos professores possibilitou evidenciar os objetivos e os recursos didáticos para o estudo de um único contexto matemático. Mais especificamente, as tarefas atuam como indicadores de maestria dos professores sobre o conceito de função e de proficiência com o raciocínio algébrico, como também com a quebra de resistências com o estudo do conceito de função, por meio da realização de diagnósticos da própria prática e das compreensões dos alunos sobre o conceito de função (Asghary; Shahvarani; Medghalchi, 2013; Steele; Hillen; Smith, 2013).
Outro aspecto a ser destacado nesse grupo é a temática do conceito de função vinculada às discussões do trabalho dos professores envolvidos em processos de formação continuada, com outros tipos de função e conteúdos associados a ela, o que expressa o conhecimento do conteúdo e do currículo por parte dos professores. No caso, Gierdien (2014)GIERDIEN, M. F. On the use of spreadsheet algebra programs in the professional development of teachers from Selected Township High Schools, African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, South Africa, v. 18, n. 1, p. 87-99, 2014. trabalha as inequações em seu programa de planilhas algébricas a partir de gráficos de funções, além de expressar tentativas de rupturas entre a aritmética e a álgebra, ao longo dos anos de ensino, por meio do conceito de função.
As pesquisas de Weber, Tallman e Middleton (2015) utilizam as funções para apresentar problemas de modelagem em termodinâmica; e as de Busch, Barzel e Leuders (2014) e Asghary, Shahvarani e Medghalchi (2013) versam sobre o desenvolvimento do pensamento funcional, no qual discutem categorias do pensamento. Além da compreensão dos estudantes sobre esse desenvolvimento, expressam aspectos do conceito de função a serem estudados de maneira adiantada nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental por meio da pré-álgebra e a necessidade de adaptação dos conteúdos sobre função, incluindo o tratamento de seu conceito, para o ensino de estudantes em outros níveis, ocorrendo uma flexibilização no currículo de funções.
As pesquisas do segundo grupo, ao incorporarem a análise dos resultados dos estudantes dos professores participantes de suas pesquisas, agregam os conhecimentos profissionais relacionados à compreensão dos estudantes sobre o conceito de função. Os momentos formativos aos quais os professores são submetidos revelam modificações nos desempenhos dos estudantes em tarefas voltadas à transição de representações do conceito de função (Sharpe; Schliemann, 2017SHARPE, S. T.; SCHLIEMANN, A. D. Teacher development and seventh graders' achievement on representing and solving equations. The Mathematics Enthusiast, Montana, v. 14, n. 1, p. 469-507, 2017.), além de interporem razões (cognitivas e epistemológicas) plausíveis para as ações dos estudantes em relação ao conceito de função (Jankvist; Niss, 2015JANKVIST, U. T.; NISS, M. A. A framework for designing a research-based "mathematics counsellor" teacher programme. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 90, n. 3, p. 259-284, 2015.). Neste contexto, segundo Sharpe e Schliemann (2017)SHARPE, S. T.; SCHLIEMANN, A. D. Teacher development and seventh graders' achievement on representing and solving equations. The Mathematics Enthusiast, Montana, v. 14, n. 1, p. 469-507, 2017., o envolvimento de professores em cursos de formação permite realizar discussões matemáticas sobre o uso de diferentes representações, em que se estabelecem relações entre o conceito de função e os fenômenos cotidianos e/ou científicos, e considerações sobre a aprendizagem dos alunos com grupo de professores de perfis heterogêneos.
Para a síntese do grupo três, pontuamos as interações entre os conhecimentos dos professores, o conceito de função e o entendimento dos estudantes sobre o conceito. Brunstrom e Fahlgren (2015)BRUNSTROM, M.; FAHLGREN, M. Designing prediction tasks in a mathematics software environment. The International Journal for Technology in Mathematics Education, Plymouth, v. 22, n.1, Jan. 2015. indicam variáveis didáticas que auxiliam no planejamento e na construção de tarefas com utilização de um determinado recurso tecnológico, de modo a ressaltar questões que trabalhem os significados de covariação e correspondência do conceito de função, como também as representações, suas conexões e a transição entre elas em momentos de revisão de conceitos com os estudantes. Em contraste, Bayazit (2010)BAYAZIT, I. The influence of teaching on student learning: The notion of piecewise function. International Electronic Journal of Mathematics Education, Modestum, v. 5, n.3, p. 146-164, 2010. revela a geração de distintos entendimentos sobre o conceito de função pelos alunos, em decorrência da opção da abordagem metodológica escolhida pelos professores, por meio das noções de ação e processo do conceito de função (Dubinsky, 1991DUBINSKY, E. Reflective abstraction. In: TALL, D. O. (ed.), Advanced Mathematical Thinking, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. p.95-123.).
Os apontamentos das pesquisas de Brunstrom e Fahlgren (2015)BRUNSTROM, M.; FAHLGREN, M. Designing prediction tasks in a mathematics software environment. The International Journal for Technology in Mathematics Education, Plymouth, v. 22, n.1, Jan. 2015. e Bayazit (2010)BAYAZIT, I. The influence of teaching on student learning: The notion of piecewise function. International Electronic Journal of Mathematics Education, Modestum, v. 5, n.3, p. 146-164, 2010. ajudam a reforçar a conclusão de Hatisaru e Erbas (2017)HATISARU, V.; ERBAS, A. K. Mathematical knowledge for teaching the function concept and student learning outcomes. International Journal of Science and Mathematics Education, Taiwan, v.15, [s.n.], p. 703-722, 2017., que aponta o Conhecimento Especializado do Conteúdo como uma condição necessária para que os estudantes estabeleçam conexões matemáticas com o conceito de função. Logo, as variáveis didáticas do estudo de Brunstrom e Fahlgren (2015)BRUNSTROM, M.; FAHLGREN, M. Designing prediction tasks in a mathematics software environment. The International Journal for Technology in Mathematics Education, Plymouth, v. 22, n.1, Jan. 2015. e as abordagens pedagógicas dos professores participantes da pesquisa de Bayazit (2010)BAYAZIT, I. The influence of teaching on student learning: The notion of piecewise function. International Electronic Journal of Mathematics Education, Modestum, v. 5, n.3, p. 146-164, 2010., são componentes dos conhecimentos mobilizados pelos professores para o ensino do conceito de função.
A integração entre as pesquisas que compõem o quarto grupo reverberam aspectos relacionados aos conhecimentos mobilizados por professores no ensino do conceito de função, mais especificamente o Conhecimento Comum do Conteúdo, de Ball, Thames e Phelps (2008). Nesta perspectiva, a orquestração instrumental, no trabalho com tecnologias para o ensino do conceito de função (Drijvers et. al., 2010), transforma o ensino em uma “[...] consequência da necessidade de um conceito em ordem de lidar com novas as situações [...]” (Watson; Harel, 2013WATSON, A.; HAREL, G. The role of teachers' knowledge of functions in their teaching: A Conceptual Approach with illustrations from two cases. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontario, v. 13, n. 2, p. 154-168, 2013., p. 165, tradução nossa). Assim, a maneira com que os professores interagem com componentes atrelados ao conceito de função, como sua representação, o conceito de função associado às covariações, o cálculo de imagens e pré-imagens, entre outros, possibilita a construção da compreensão do conceito de função em fluxo. Dessa forma, a partir de outros conceitos, promovem-se experiências significativas que estimulem a necessidade intelectual (Watson; Harel, 2013WATSON, A.; HAREL, G. The role of teachers' knowledge of functions in their teaching: A Conceptual Approach with illustrations from two cases. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontario, v. 13, n. 2, p. 154-168, 2013.), tornando processual a parte descritiva das pesquisas sobre o ensino do conceito de função.
Por fim, a última síntese, que abrange as dimensões de reconhecimento e heurística na resolução de professores especialistas e professores do ensino básico (KOP et al., 2015) e a produção de um instrumento avaliativo para a parametrização dos domínios do conhecimento matemático (Reckase et al.,2015), revela estratégias de análise e classificação dos conhecimentos docentes utilizados após a verificação das respostas dadas em tarefas com foco no conceito de função. Em contrapartida, a elaboração de tarefas como instrumentos de avaliação genéricos está associada às considerações de perfis heterogêneos de ensino que, por sua vez, agregam uma ampla promoção das relações entre conhecimentos e ações dos professores para o ensino de funções.
Em conformidade com a totalidade de sínteses integrativas, observamos que há a possibilidade de elencar, entre os grupos de artigos, aspectos convergentes que configuram aspectos teóricos e metodológicos de pesquisas sobre o conceito de função na formação continuada, seja na participação em cursos e/ou programas de formação continuada ou na observação de aulas conjuntamente com discussões individuais e/ou coletivas. Assim, dentre as estratégias e os aspectos identificados, pontuamos: 1) o uso de TAP; 2) a adaptação ou a relação com aspectos matemáticos do conceito de função para estudo em distintos níveis de ensino; 3) a abordagem de explicações referentes ao conceito de função, levando-se em conta sua distribuição no currículo; 4) o estudo das representações do conceito de função, conjuntamente com estratégias para facilitar a transição entre estes; 5) o uso de tecnologias como recurso didático para visualizar a transição entre representações do conceito de função e os respectivos conhecimentos mobilizados pelos professores; e 6) o planejamento, a realização e a avaliação de diagnósticos das compreensões dos estudantes sobre o conceito de função para estabelecer Parâmetros de ensino e de aprendizagem.
A interação de professores, no âmbito da formação continuada, para o estudo do conceito de função manifestou estratégias metodológicas e considerações teóricas em relação a um conceito matemático e as interferências no entendimento dos estudantes sobre o conteúdo (Bayazit, 2010BAYAZIT, I. The influence of teaching on student learning: The notion of piecewise function. International Electronic Journal of Mathematics Education, Modestum, v. 5, n.3, p. 146-164, 2010.; Bush; Barzel; Leuders, 2014; Jankvist; Niss, 2015JANKVIST, U. T.; NISS, M. A. A framework for designing a research-based "mathematics counsellor" teacher programme. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 90, n. 3, p. 259-284, 2015.; Tabach; Nachlieli, 2015TABACH, M.; NACHLIELI, T. Classroom engagement towards using definitions for developing mathematical objects: the case of function. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 90, [s.n.], p. 163-187, 2015.; Watson; Harel, 2013WATSON, A.; HAREL, G. The role of teachers' knowledge of functions in their teaching: A Conceptual Approach with illustrations from two cases. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontario, v. 13, n. 2, p. 154-168, 2013.).
Sendo assim, para a construção do conceito de função pelos estudantes, predominou o estabelecimento de relações e transições entre os conhecimentos aritméticos e os conhecimentos algébricos por meio de diferentes abordagens. A participação em processos formativos evidenciou, por meio da construção, da aplicação e da análise diagnóstica de TAP e tarefas matemáticas, possibilidades e dificuldades – tanto dos professores como de seus estudantes – sobre o conceito de função e a dinâmica em sala de aula para fomentar as contribuições e as lacunas das pesquisas na formação continuada de professores – em particular, aquelas sobre o conceito de função.
4 Considerações finais
Ao restringir esta revisão à seleção de artigos, foram deixadas de lado informações presentes em livros e anais de conferências. No entanto, a inclusão de artigos de quatro bases de dados propiciou a abrangência de pesquisas publicadas em três idiomas distintos: português, inglês e espanhol.
O arranjo das sínteses integrativas entre cada grupo de artigos e a disposição dos direcionamentos teórico-metodológicos para professores dos estudos de formação continuada que ensinam sobre o ensino do conceito de função em Matemática permitem destacar, entre os resultados do artigo, as formas de mobilização e de comunicação do conceito de função. Mais especificamente, nas pesquisas em que convergem os resultados dos estudantes com os de seus respectivos professores, a determinação de objetivos para as ações e as escolhas docentes em sala de aula interfere diretamente na comunicação do conceito matemático.
Dito de outra forma, o Quadro 4 compila os direcionamentos teóricos e metodológicos de pesquisa destacados sobre o ensino do conceito de função na formação continuada.
Os direcionamentos teóricos e metodológicos destacados no Quadro 4 refletem os contextos formativos, no que tange ao estudo do conceito de função, em três ações a serem praticadas pelos professores: dominar os recursos didático-pedagógicos com base em variáveis didáticas para o ensino das diferentes representações do conceito; coordenar o processo de transição entre conhecimentos aritméticos e algébricos, mediante o desenvolvimento do pensamento funcional, a análise e a convergência de currículos e investigação de padrões e das diferentes representações do conceito; e, por fim, gerenciar o processo de formação continuada de professores e as estratégias de avaliação dos estudantes, o que engloba o uso pelos estudantes de tarefas matemáticas como instrumento diagnóstico e de reflexões colaborativas em conjunto de TAP para organização da formação continuada. Com isso, esta revisão sistemática gera implicações, vinculadas à composição dos direcionamentos teóricos e metodológicos, para a realização de futuros estudos empíricos envolvendo a formação continuada com professores e o conceito de função.
Desta forma, trata-se de uma agenda de pesquisa que demanda o envolvimento de professores que ensinam Matemática em cursos de licenciatura e em escolas de Educação Básica no planejamento, na execução e na reflexão sobre projetos (interdisciplinares). A referida agenda considera o debate dos direcionamentos teóricos e metodológicos de pesquisa, sintetizados sobre o ensino do conceito de função na formação continuada.
Agradecimentos
Esta pesquisa foi financiada pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001.
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1
Levantamento dos conhecimentos prévios, aspectos socioeconômicos, dentre outros fatores relacionados à relação professor-escola, à estrutura escolar e às qualificações em Matemática dos professores.
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2
A orquestração define a organização sistemática e intencional dos professores no ambiente de aprendizagem com o uso de diferentes artefatos – mais especificamente para o trabalho de Drijvers et al. (2010), os recursos tecnológicos. A teoria que Trouche (2004)TROUCHE, L. Managing complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students' command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Netherlands, v. 9, [s.n.], p. 281-307, 2004. apoia refere-se à orientação dos professores na gênese instrumental dos estudantes no momento em que orquestram situações matemáticas.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
27 Maio 2024 -
Data do Fascículo
2024
Histórico
-
Recebido
05 Set 2022 -
Aceito
12 Set 2023
Fonte: os autores (2019)