Identificação de Sistemas a Eventos Discretos Maxplus lineares

SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

Identificação de Sistemas a Eventos Discretos Maxplus lineares

Carlos Andrey Maia^I; Rafael Santos Mendes^II; Laurent Hardouin^III

^IDepto. de Engenharia Elétrica - UFMG - Av. Antônio Carlos 6627 - Pampulha - 31270-010 Belo Horizonte - MG - Brasil - [e-mail]

^IIFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação - UNICAMP - DCA/FEEC/UNICAMP-C.P. 6101 - 13083-970 Campinas - SP - Brasil - [e-mail]

^IIILaboratoire d'Ingénierie des Systèmes Automatisés - ISTIA/Université d'Angers - Av. Notre Dame du Lac 62 - 49000 Angers - França - [e-mail]

RESUMO

Este artigo trata do problema de identificação de Sistemas a Eventos Discretos Max-plus lineares mono-entrada e mono-saída. O objetivo é estimar os parâmetros temporais do sistema a partir da observação dos instantes de disparo das transições de entrada e de saída, supondo que alguns parâmetros estruturais sejam conhecidos. A partir dessas condições, o método de identificação proposto é desenvolvido tendo como base o cálculo de um limitante superior para o parâmetro de temporização do ciclo. Obtém-se uma condição suficiente de excitação, relativa à variável de entrada, para a convergência do algoritmo proposto. Exemplos ilustram o método proposto.

Palavras-chave: Sistemas a Eventos Discretos, Identificação de Sistemas, Álgebra Max-plus, Grafos de Eventos Temporizados.

ABSTRACT

This paper deals with the identification problem of Max-plus linear Discrete Event Systems with single input and single output. The objective is to estimate the temporal parameters of the system by using the observation of input and output transition firing times assuming that some structural parameters are known. With those assumptions, the identification method is developed by using an upper bound for cycle duration. The paper presents a sufficient excitation condition, concerning the input signal, for the convergence of the algorithm. Examples Illustrate the proposed method.

Keywords: Discrete Event Systems, System Identification, Max-plus Algebra, Timed Event Graphs.

1 INTRODUÇÃO

Diversas tecnologias presentes em processos de manufatura, redes de comunicação, controle de tráfego aéreo, etc., podem ser descritas por modelos com algumas características em comum. Nestes sistemas, o espaço de estados é em geral discreto (em muitos casos finito) e mudanças de estado acontecem somente em resposta à ocorrência de eventos. Essas características os distinguem dos sistemas que tem sua dinâmica dirigida pelo tempo e seu espaço de estado contínuo, cuja modelagem é tradicionalmente feita através das equações diferenciais e das equações a diferenças. Tais sistemas são denominados Sistemas a Eventos Discretos (SED) (Cassandras e Lafortune, 1999). Uma maneira formal de descrever SED é através de Redes de Petri (Murata, 1989) sendo as Redes de Petri temporizadas particularmente úteis quando há interesse em avaliar o desempenho do sistema.

Este artigo trata da abordagem Max-plus. Esta técnica fundamenta-se em resultados algébricos relativos aos semi-anéis idempotentes (também chamados de dióides) e na Teoria de Residuação, cujas bases são sumariadas na seção 2. Sua principal característica é descrever a dinâmica de SED a partir de um sistema de equações algébricas lineares, escritas numa álgebra não convencional (Cohen et al., 1985). Quando SED apresentam fenômenos de sincronização de tarefas e de retardo no tempo, mas não há conflito na utilização de recursos, eles podem ser descritos pela álgebra Max-plus, sendo denominados SED Max-plus lineares (SEDMpl). Exemplos desses sistemas são as linhas de montagem em processos de manufatura. Conforme será discutido na seção 2, o comportamento desses tipos de SED coincide com o comportamento dos Grafos de Eventos Temporizados (GET) que são uma subclasse de Redes de Petri na qual todos os lugares têm uma única transição de entrada e uma única transição de saída (Baccelli et al., 1992). O uso dos GET como ferramenta gráfica facilita a compreensão da dinâmica dos SEDMpl.

Dois problemas centrais no estudo de SEDMpl são a identificação e o controle do sistema. O problema de controle é usualmente formulado dentro de um contexto just-in-time visando à minimizaçao dos estoques do sistema (Menguy et al. (2000b), Cottenceau et al. (2001), Lüders e Santos-Mendes (2002), Maia, Hardouin, Santos-Mendes e Cottenceau (2003)). O estudo da identificação de SEDMpl é abordado por que propõem a identificação paramétrica baseada na resposta impulsiva do modelo. A abordagem considera a estimação de dois modelos ARMA: um para o regime transitório e outro para o comportamento periódico. Gallot et al. (1998) consideram a identificação a partir da resposta impulsiva do sistema baseada na decomposição do sistema em uma soma de sub-sistemas de primeira ordem (a resposta impulsiva é decomposta em uma soma de termos chamados elementos simples). Dessa forma o método consiste na estimação de parâmetros de diversos sistemas de primeira ordem. Menguy et al. (2000a) desenvolvem um algoritmo para a identificação não-paramétrica (direta) baseado no refinamento da estimativa da resposta impulsiva.

Este trabalho apresenta novos resultados (notadamente sobre as condições de excitação do sistema) para o método de identificação paramétrica de SEDMpl com uma entrada e uma saída (SEDMpl SISO) similar aos propostos por Maia, Santos-Mendes e Hardouin (2003) e Maia (2003). Nesse método supõem-se conhecidos o número de disparos durante o período transitório (i.e. o comprimento do transitório) e o número de disparos ocorridos em cada ciclo do regime permanente. Este último parâmetro está relacionado com o número de fichas no circuito crítico do GET. Por outro lado, são consideradas desconhecidas as durações temporais do transitório e do ciclo do regime permanente. Estes parâmetros devem ser estimados juntamente com os parâmetros que definem completamente a resposta transitória e o comportamento em regime do sistema. A principal contribuição em relação aos métodos propostos anteriormente é que, conhecida a estrutura do modelo, o modelo estimado é mais próximo do modelo real do sistema do que o obtido pelo cálculo direto da maior resposta impulsiva.

O artigo é organizado da maneira seguinte. A introdução às ferramentas matemáticas básicas para a compreensão do artigo é feita na seção 2. O método de identificação é apresentado na seção 3, na qual os parâmetros supostos conhecidos e os parâmetros a serem estimados são formalmente explicitados. Na seção 4, são apresentados alguns exemplos ilustrativos e a conclusão é feita na seção 5.

2 PRELIMINARES

2.1 Sistemas max-plus lineares

Os resultados apresentados a seguir são extensivamente abordados em Baccelli et al. (1992).

Considere-se, a título de exemplo, o GET ilustrado pela figura 1, representando um sistema de montagem cuja produção máxima é de uma peça a cada duas unidades de tempo. Nessa figura u é a transição de entrada à qual serão associados os instantes de admissão de matéria-prima ao sistema; x_i são as transições internas (doravante também chamadas de estados) e y é a transição de saída, que representa a conclusão do processo de montagem. Como é usual na literatura, a mesma notação será utilizada para designar uma transição de um GET e o instante de tempo de disparo (admissão de um produto em um dado setor do sistema) da transição. Dessa forma, o comportamento dinâmico do sistema é descrito pelas equações a seguir.

A variável inteira k corresponde à numeração do disparo, convencionando-se que k=0 corresponde ao primeiro disparo e k=n ao (n+1)-ésimo disparo.

Renomeando o operador max como sendo Å e o operador + como sendo Ä, pode-se reescrever:

Tem-se portanto um sistema de equações recursivas lineares numa nova álgebra que é um semi-anel idempotente (ou dióide) e se caracteriza por um conjunto e duas operações (soma e produto), notado (D, Å, Ä), tal que a soma seja associativa, comutativa e idempotente (a Å a = a), e o produto seja associativo (mas não necessariamente comutativo) e distributivo à esquerda e à direita em relação à soma. Além disso, devem existir elementos neutros para ambas as operações, notados por e (elemento nulo) e por e (elemento unitário), e o elemento nulo deve ser absorvente em relação ao produto, isto é, "a Î D, a Å e = a; a Ä e = a; a Ä e = e. Percebe-se que o conjunto z_bastão È {-¥} munido das duas operações Å º max e Ä º + é um dióide, no qual e = -¥ e e = 0. Num dióide uma relação de ordem é definida como a b Û b = a Å b. Em geral, um dióide é completo se ele for fechado em relação a somas infinitas e se o produto for distributivo em relação a somas infinitas, sendo o seu maior elemento denotado por T (topo). A operação Ù (ínfimo) é definida em a Ù b como sendo o maior elemento do dióide menor do que a e menor do que b. A estrutura (È {-¥} È {¥}, max, +) é um dióide completo usualmente denominado "max-plus" e notado por .

O exemplo mostrado na figura 1 utiliza o que se convenciona chamar de datadores, isto é, sequências crescentes {x(k)} que representam as datas ou instantes de ocorrência dos disparos da transição x.

De modo análogo ao que ocorre na teoria de sistemas contínuos, as manipulações das equações de SEDMpl ficam facilitadas se forem utilizadas transformadas das sequências de datadores definidas de modo semelhante ao das clássicas transformadas Z. Define-se, portanto, a g-transformada de uma sequência {x(k)} como sendo x(g) = x(k) g^k, sendo g uma variável abstrata cujo significado é o de um operador "atraso em contagem", pois é imediato constatar que y(g) = gx(g) Û {y(k)} = {x(k - 1)}. As equações 1, submetidas à g-transformada resultam no seguinte sistema de equações algébricas:

É possível definir operações de soma e multiplicação entre séries formais do tipo

x(k) g^k, utilizando-se para isso a soma e o produto adotados para combinados com os procedimentos usuais para somar e multiplicar séries formais. O conjunto de todas as séries formais em g, munido dessas duas operações também é um dióide, isto é, satisfaz a todas as propriedades utilizadas para caracterizar um dióide, sendo denominado . A valoração, um conceito que será utilizado a seguir, de uma série h em é o menor expoente de coeficiente não-nulo, sendo representado por val(h).

A equação 2 pode ser colocada em forma matricial, resultando em x(g) = A(g)x(g) Å B(g)u(g) e y(g) = C(g)x(g), sendo A, B e C matrizes na variável abstrata gama de dimensões apropriadas e u(g), y(g) e x(g) vetores associados respectivamente às transições de entrada, de saída e internas ao sistema. De modo geral, em qualquer dióide, equações do tipo x = ax Å b tem como solução mínima x = a*b, sendo a* = e a⁰ = e. Esse resultado, chamado de teorema da estrela¹ (Baccelli et al., 1992), pode ser generalizado para as equações matriciais anteriores, levando a y = CA*Bu, ou de modo sintético:

Nessa equação, h(g) = CA*B é chamada de função de transferência do sistema e (como na teoria de sistemas contínuos) coincide com a resposta do sistema a uma entrada impulsiva, u(g) = e, que corresponde a infinitos disparos da transição de entrada em t = 0. Conforme mostrado em Baccelli et al. (1992) todo SEDMpl SISO tem uma resposta impulsiva periódica que pode ser colocada na seguinte forma:

sendo p(g) = p_i gⁱ, p_i Î e q(g) = q_j g^j, q_i Î polinômios e n Î , s Î e r Î respectivamente o comprimento do transitório, a duração e o comprimento do regime permanente. O algoritmo de identificação proposto deverá, portanto, estimar os coeficientes dos polinômios p(g) e q(g) assim como o parâmetro s (duração do ciclo do regime permanente)². Vale observar na equação 4, que h(i) = p_i para (i < n) e que h(j) = q_i para (j < r). A figura 2 ilustra graficamente o comportamento de uma série periódica.

Em algumas situações pode ser interessante trabalhar no domínio dos datadores. Nesse domínio a equação 3 é escrita como

Em outras palavras, isso significa que a saída é o resultado da convolução da entrada e da resposta ao impulso do GET. Esse resultado é obtido diretamente a partir da substituição da equação 4 na equação 3.

2.2 Teoria da residuação

As formulações discutidas na próxima seção envolvem a inversão de funções, isto é, a solução em x de equações do tipo y = f(x). Diferentemente do caso da álgebra tradicional a solução desse tipo de equação no dióide pode apresentar um número infinito de soluções ou nenhuma solução. A Teoria da Residuação (Blyth e Janowitz, 1972) se ocupa justamente da solução deste problema em conjuntos parcialmente ordenados. A seguir, alguns resultados fundamentais relativos a essa teoria serão apresentados.

Consideram-se inicialmente os mapeamentos f : ® , sendo e dióides completos. Se f for isotônico (preserva o ordenamento, i.e, x y Û f(x) f(y) ) e se existir um elemento máximo x_op do conjunto {x | y f(x), x Î , y Î }, diz-se que x_op é o resíduo do mapeamento f em y. Se f tiver um resíduo em qualquer ponto y Î , o mapeamento f é dito residuável, sendo o resíduo denotado por (y) (Baccelli et al., 1992). Dualmente, o mínimo do conjunto {x | y f(x), x Î , y Î }, se ele existir, é denominado resíduo dual sendo denotado por (y) e o mapeamento f é dito dualmente residuável.

As funções L_a(x) = a Ä x e R_a(x) = x Ä a são residuáveis, sendo seus resíduos denotados respectivamente por e . No caso particular do dióide tem-se = = x - a (operação de subtração da álgebra tradicional). A definição de residuação assegura que:

A função T(x) = x Å a é dualmente residuável, sendo seu resíduo dual denotado por x a. Por exemplo, no dióide , 3 1 = 3, pois, pela definição de resíduo dual, 3 1 é a menor solução da equação max(x, 1) > 3.

Conforme visto anteriomente, o dióide é importante para a descrição da dinâmica de um GET. Algumas propriedades das séries descritas nesse dióide, fundamentais para este artigo, são apresentadas a seguir.

Propriedade 1 (Maia (2003)) O datador associado à série (trajetória não decrescente) w(g) = y(g) x(g) é dado por w(k) = (y(i) x(i)).

Lema 2 (Residuação de séries)Sejam duas séries do dióide, u(g) = u(k) g^k e v(g) = v(k) g^k, então:

Vale dizer que a expressão (v(l) u(l + k)) corresponde ao coeficiente de g^k, sendo (Ù) o operador min³ e v(l) u(l + k) = u(l + k) - v(l) (operação de subtração da álgebra tradicional). Convém ainda relembrar a definição de residuação, que assegura que y(g) = v(g) u(g) é a maior série tal que v(g) Ä y(g) u(g). Maiores detalhes sobre a residuação de séries são apresentados por Baccelli et al. (1992). Programas para a manipulação de séries na álgebra de dióides usando o pacote computacional SCILAB podem ser encontrados em http://www.istia-angers.fr/hardouin/outils.html.

3 MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO

No desenvolvimento do método proposto, assume-se que um modelo para o sistema existe e é expresso pela equação 3. A estrutura, i.e. parâmetros n e r (equação 4 ), é também suposta conhecida. O objetivo do método de identificação é, então, estimar os polinômios desconhecidos p(g), q(g) e a duração do período s. Mostra-se (Maia, 2003) que esse sistema pode ser representado pelas equações seguintes no dióide :

com condições iniciais tais que z(k) = u(k) = y(k) = e para k < 0 , sendo z(k) uma variável que modela o comportamento do ciclo.

Seguindo o mesmo raciocínio clássico da teoria de identificação para sistemas dinâmicos contínuos (Ljung, 1987), y(k) pode ser reescrito como:

sendo = [u(k) ¼ u(k - n + 1)z(k - n) ¼ z(k - n - r + 1)] o vetor de regressão e q = [p₀¼ p_{n - 1} q₀¼ q_{r - 1}]^T o vetor de parâmetros a ser estimado.

Dessa forma, a partir da observação de N disparos das transições de saída e de entrada, obtém-se a equação matricial:

na qual F = [j₀¼ j_N]^T é a matriz de regressão e Y = [y(0) ¼ y(N)]^T é o vetor de saída observado.

Para estimação do parâmetro q, é conveniente a definição de um critério de erro como

sendo a saída do modelo estimado ((k) = F Ä ) tal que (k) < y(k). Esse critério significa que, para uma mesma entrada, o melhor modelo deve produzir a maior saída possível que seja menor que a saída observada, i.e., deve-se escolher o maior tal que F Ä

Y.

Por enquanto, apenas para o desenvolvimento do algoritmo, assume-se que a variável z é conhecida. Assim, um estimador ótimo para o critério J() é obtido diretamente através da Teoria da Residuação,

Explicitamente, a solução dessa equação é dada por:

Nota-se que

_i > p_i e _j> q_j pois é a maior solução de F Ä

Y . Conseqüentemente, é uma solução para a equação (10), i.e., Y = F Ä . Esse resultado implica que _i e _j satisfazem a equação (8) para k = 1, ..., N. Atribuindo u(k) = y(k) = T para k > N (isso significa que nenhum evento ocorre para k > N), a equação (8) é satisfeita para todo k Î z_bastão. Dessa maneira, a aplicação da transformação g resulta em

Propriedade 3 A condição necessária e suficiente para a convergência do estimador apresentado nas equações 13 é: "i Î [0 n - 1], $k¢ Î [0 N] tal que y(k¢) = p(i) + u(k¢ - i). Analogamente, para a condição necessária e suficiente é: "j Î [0 r - 1] , $k¢ Î [0 N] tal que y(k¢) = q(j) + z(k - n - j).

Prova: Como _i = u(k - i) y(k), a necessidade é obtida lembrando-se que para u(k - i) e y(k) finitos tem-se u(k - i) y(k) = y(k) - u(k - i). A suficiência é obtida através do fato de que é máximo e de que y(k¢) = p(i) + u(k¢ - i) implica em _i< p_i, ou seja, esses dois fatos resultam em _i = p_i. Para , a demonstração é análoga.

Contudo esse resultado tem pouca utilidade prática já que não explicita como deve ser a excitação do sistema para que a estimação seja correta. Uma condição de excitação suficiente é apresentada na proposição 5.

Lema 4Se a excitação do GET é tal que 0 < u(k) < (h(g) h(g))(k) para 0 < k < N então y(k) = h(k).

Prova:Pela fórmula 5, y(k) = h(l) Ä u(k - l). Dessa forma, y(k) > h(k) pois u(i) > 0 para 0 < i < N. Por outro lado: y(k) < h(l) (h(g) h(g)) (k - l) = h(l) (h(i) h(i + k - l)) < h(l) (h(l) h(k)), pois o lema 2, assegura que (h(g) h(g))(k - l) = h(i) h(i + k - l). Assim pela inequação 6, h(l)(h(l) h(k)) < h(k) = h(k) e, portanto, y(k) < h(k) para 0 < i < N. Como já foi mostrado que y(k) > h(k), conclui-se que y(k) = h(k).

Como conseqüência desse lema, se e u(g) h(g) h(g) então y(g) = h(g), em outras palavras h(g) h(g) é a maior entrada tal que a saída seja igual à resposta ao impulso. A interpretação desse resultado para um sistema de manufatura é que h(g) h(g) fornece os instantes máximos de disparo da transição de entrada u(g) de forma que a saída permaneça inalterada e igual a h(g). Em teoria de identificação de sistemas contínuos (Ljung, 1987), quando um sinal consegue excitar toda a faixa dinâmica de um sistema, diz-se que esse sinal é um "sinal de excitação rico" para o sistema. Analogamente, devido ao lema 4, uma seqüência de disparos da transição de entrada será considerada um "sinal de excitação rico" para um GET, se a condição e u(g) h(g) h(g) for verificada.

Proposição 5 Se o parâmetro s é conhecido e o sinal de entrada u é suficientemente "rico" (i.e., 0 < u(k) < (h(g) h(g))(k) para 0 < k < N sendo N > n + r - 1) então os estimadores dados em 13 convergem para os parâmetros reais do sistema, precisamente _i = p_i e _j = q_j para i Î [0 n - 1] e j Î [0 r - 1].

Prova: As hipóteses desta proposição para o sinal de entrada implicam, de acordo com o lema 4, que y(k) = h(k) para 0 < k < N. Dessa forma, _i = u(k - i) h(k) < u(0) h(i) < h(i) = p_i (i < n) pois u(0) > 0. Além disso, se s é conhecido, então z é também conhecido e os estimadores propostos sempre asseguram que _i > p_i e _j > q_j, pois eles são as maiores soluções para o problema. Assim, conclui-se que _i = p_i. O mesmo raciocínio é aplicado para a estimativa _j lembrando que q_j = h(n + j) para j < r.

Convém observar que se u(k) - u(0) < (h(g) h(g))(k), o estimador também converge. De fato, fazendo u(k) = (k) + u(0) = (k) Ä u(0) , então y(k) = (k) Ä u(0) sendo (k) = h(l) Ä (k - l). Do mesmo modo, mostra-se que z(k) = (k) Ä u(0). Dessa forma, a diferença entre os datadores (u, y, z) e (, , ) é o termo u(0). Como os resíduos das equações 13 são calculados a partir de diferenças entre datadores, o resultado obtido utilizando (u, y, z) é mesmo que se obtém utilizando (, , ).

Nota 6 Se u(k₁) >> u(k₁ - 1) para k₁ > 0, então y(k₁ + j) = u(k₁) Ä (h(j - l) Ä (l)) para j > 0, sendo u(k₁ + j) = u(k₁) + (j) = u(k₁) Ä (j). Esse resultado permite escrever a saída como y(k₁ + j) = u(k₁) Ä (j) sendo a saída do sistema para a entrada , ou seja, a partir do k₁-ésimo disparo, o sistema desconsidera a influência dos disparos anteriores. Do mesmo modo, a variável interna é escrita como z(k₁ + j) = u(k₁) Ä (j) sendo a trajetória obtida utilizando a entrada . Como conseqüência dessa observação, se (i) < (h(g) h(g))(i) para 0 < i < n + r - 1, então os estimadores também convergem conforme observado anteriormente. De fato, sabe-se que:

Como u é crescente e u(k₁) >> u(k₁ - 1) então o segundo somatório é maior que o primeiro. Assim, como u(k₁ + j) = u(k₁) Ä (j), tem-se que:

Fazendo l = i - k₁, obtém-se que y(k₁ + j) = u(k₁)(h(j - l) Ä (l)). Seguindo o mesmo argumento, mostra-se que z(k₁ + j) = u(k₁) Ä (j) sendo a trajetória obtida utilizando a entrada .

Uma interpretação para a situação apresentada na nota 6é que após o (k₁ - 1)-ésimo disparo da transição de entrada espera-se um tempo tal que o sistema retorne à condição de "relaxado"⁴ para só assim disparar novamente essa transição. Dessa forma, a menos da translação temporal u(k₁), o sistema passa a responder a partir do k₁-ésimo disparo como se estivesse no início do processo.

Propriedade 7 Para o estimador proposto tem-se sempre ₀ = p₀, ou seja, ₀ sempre converge para o valor real independentemente das condições de excitação do sistema.

Prova: Isso se deve o fato de que ₀ = u(k) y(k) < u(0) y(0) = y(0) - u(0). Como y(0) = p₀Ä u(0) = p₀ + u(0), então ₀< p(0). Entretanto, como discutido anteriormente, ₀> p₀, logo ₀ = p₀.

A estimação dos parâmetros q_j apresentada nas equações 13 requer o conhecimento da variável z. Essa variável é desconhecida mas pode ser estimada. Se uma estimativa de s (representada por ) é disponível, então uma estimativa de z (representada por ) é obtida iterativamente segundo a equação (8), ou seja,

Dessa forma, estima-se a variável z a partir da estimativa de s. Para a estimativa da duração do período, s, deve-se recordar que as estimativas dadas na equação 13 devem satisfazer a equação 14. A partir desse resultado, demonstra-se a proposição 8.

Proposição 8 Um limitante superior de s é calculado a partir das expressões abaixo:

sendo L = e u(g) e y(g) respectivamente⁵ as séries correspondentes aos dados da entrada e da saída do sistema.

Prova: A demonstração é apresentada por Maia (2003) e utiliza os resultados da propriedade 1 e do lema 2.

Dessa forma, utiliza-se neste artigo o estimador para s como sendo = s_up.

Uma condição suficiente para a convergência do estimador proposto é apresentada a seguir. Convém lembrar que para que os efeitos da periodicidade da função de transferência sejam percebidos na saída é sempre necessário pelo menos n + r observações dos disparos da transição de saída (ver figura 2).

Proposição 9 (Maia (2003)) Sejam w_inf(g) ¹ e, v_w = val(w_inf(g)) e o número de observações tal que N > r + v_w. Se 0 < u(k) < (h(g) h(g))(k) para 0 < k < N, então = s.

Vale ressaltar que a condição de convergência apresentada na proposição 9 é ampliada se o sinal de entrada satisfaz às hipóteses apresentadas na nota 6 para k₁< k < k₁ + N e v_w > k₁.

Finalmente, o método de identificação é sintetizado no algoritmo mostrado a seguir.

Algoritmo

begin

Iniciar variáveis: z(k) = u(k) = y(k) = -¥ para k < 0.

Coletar N > n + r pares de dados de entrada e saída (u(k), y(k));

fork = 0, ..., N

end

end

4 EXEMPLOS ILUSTRATIVOS

A figura 3 representa um GET que modela um sistema de montagem com 3 máquinas representadas pelos símbolos M₁, M₂ e M₃. Sejam u e y respectivamente os datadores das transições de entrada e de saída e x₁, x₂ e x₃ os datadores das transições internas desse GET. Utilizando a transformação g, obtém-se o sistema de equações (16) que relaciona essas variáveis no dióide .

A partir do teorema da estrela apresentado na introdução, obtém-se a equação que relaciona a entrada e a saída do sistema

sendo h(g) = 17 Å 21 g Å (25g²)(6g)* = 17 Å 21g Å 25g² Å 31g³Å 37g⁵ Å 43g⁵ ¼] a função de transferência que apresenta parâmetros estruturais n = 2 e r = 1. Em outras palavras, a seqüência de disparos da resposta impulsiva é h = [17 21 25 31 37 43 ¼].

A planta descrita pela equação 17 será utilizada a seguir em diversas condições de excitação para ilustrar a aplicabilidade do método de identificação proposto. Nesse caso, a máxima entrada que garante a "excitação rica" do sistema é u_h(g) = h(g) h(g) = 0 Å 4g Å 8g² Å 14g³ Å 20g⁵Å 26g⁵ ¼, ou seja, a seqüência de disparos é dada por u_h = [0 4 8 14 20 26 ¼]. Em cada exemplo, o par de entrada e saída (u_h, h) é mostrado nos gráficos em linhas pontilhadas.

Exemplo 10 Considere-se a seqüência de disparos da transição de entrada dada por u = [0 2 5 8 17 20]. Conseqüentemente, a seqüência de disparos da transição de saída é y = [17 21 25 31 37 43]. A figura 4 mostra essas seqüências e o comportamento do GET em linhas pontilhadas quando a entrada é u_h. Nesse caso, observa-se que u u_h e que a condição de excitação do sistema satisfaz a hipótese da proposição 9. Como conseqüência, a aplicação do método de identificação proposto resulta em ₀ = 17, ₁ = 21, ₀ = 25 e = 6. Isto é, o método converge para os parâmetros reais do sistema.

Exemplo 11 Neste exemplo, supõe-se que a seqüência de disparos da transição de entrada seja dada por u = [0 5 9 15 19 21]. Assim, a seqüência de disparos correspondentes para transição de saída é y = [17 22 26 32 37 43]. Esses dados são mostrados na figura 5. A aplicação do método de identificação proposto resulta em ₀ = 17, ₁ = 21, ₀ = 25 e = 6. Isto é, o método converge para os parâmetros reais do sistema embora a condição de excitação não satisfaça a hipótese da proposição 9 (i.e. u u_h). Esse exemplo mostra que a proposição é suficiente para convergência mas não necessária.

Exemplo 12 Um outro exemplo de simulação utiliza uma seqüência de disparos da transição de entrada dada por u = [0 3 11 15 17 27] cuja seqüência de disparos da transição de saída é y = [17 21 28 32 37 44]. Esses dados são apresentados na figura 6. Neste exemplo a condição de excitação é tal que u u_h e os resultados obtidos pelo método de identificação são: ₀ = 17, ₁ = 24, ₀ = e e = T. Nesse caso, os parâmetros não convergiram para os valores reais. Pode-se fazer uma analogia dessa situação com o caso de excitação "pobre" em sistemas dinâmicos contínuos.

Exemplo 13 A figura 7 mostra outra simulação para uma seqüência de disparos da transição de entrada dada por u = [0 7 15 22 30 37] cuja seqüência de disparos da transição de saída é y = [17 24 32 39 47 54]. Nesse caso, novamente a condição de excitação não é satisfeita (u u_h). Os resultados obtidos pelo método de identificação são: ₀ = 17, ₁ = 24, ₀ = e e = T, isto é, os parâmetros não convergiram para parâmetros reais da planta.

Exemplo 14 Nesta simulação a entrada é dada por u = [0 26 30 33 33 33] e a saída correspondente é y = [17 43 47 51 57 63]. A figura 8 mostra essas seqüências. Nesse caso, observar que u u_h. Como aconteceu no exemplo 11, ₀ = 17, ₁ = 21, ₀ = 25 e = 6, ou seja, mesmo não satisfazendo a condição suficiente de excitação, os resultados obtidos mostram que estimadores convergem para os parâmetros reais do modelo da planta.

Os exemplos 12 e 14 ilustram o fato que se a excitação u₁ leva a uma estimação não-convergente então a excitação u₂

u₁ não necessariamente leva a uma estimação não convergente. Esse ponto pode ser compreendido com o auxílo na nota 6.

O exemplo 13 ilustra particularmente o fato de que se incrementos na trajetória de u são muito grandes em relação aos de h, ou seja, a inclinação de u é suficientemente maior que a de h, o algoritmo de estimação sempre resulta em q_j = e e s = T. Isso se deve ao fato de que se u(k) - u(k - 1) é suficientemente grande para todo k Î então as desigualdades h(0) Ä u(k) h(1) Ä u(k - 1) ¼ são verdadeiras. Como y(k) = h(l) Ä u(k - l) e pela equação 4, p_i = h(i) para i Î [0 n - 1], então essas desigualdades permitem escrever que y(k) = p(l) Ä u(k - l). Dessa forma é tal que y(k) =

_l Ä u(k - l), ou seja, é um modelo que assegura que o critério de erro é nulo. Intuitivamente, esse fato corresponde à situação em que a entrada de matéria-prima no sistema é lenta ao ponto de só se observarem fenômenos transitórios, isto é, a taxa de chegada de matéria-prima não permite que o polinômio q(g) influencie na solução. Dessa forma, segundo o método de estimação apresentado no algoritmo 1, w_inf(g)(k) = e e, conseqüentemente, c(g)(k) = T para todo k Î . Finalmente, isso resulta em = T e, para um número de observações N > 2r + n - 1, tem-se que q_j = e para j Î [0 r - 1].

A tabela 1 resume as condições de convergência observadas para os exemplos apresentados.

5 CONCLUSÃO

Este artigo apresentou alguns resultados para a estimação dos parâmetros temporais para SED Max-plus lineares que são uma extensão do trabalho apresentado por Maia, Santos-Mendes e Hardouin (2003). O método se baseia no conhecimento do comprimento do transitório e do comprimento do ciclo em regime permanente (respectivamente, parâmetros n e r) e visa à estimação das durações do transitório e do ciclo em regime permanente (respectivamente, parâmetros q_o e s) assim como a estimação dos demais coeficientes do polinômios p(g) e do polinômio q(g). As principais contribuições são relativas às condições de excitação do sistema que asseguram a convergência do método. Vale dizer que o modelo desenvolvido para a estimação utiliza uma variável interna desconhecida para modelar o comportamento do circuito crítico e a estimação dessa variável interna apresenta dificuldades e constitui uma limitação para o método, devendo portanto ser objeto de atenção em trabalhos futuros. Outro resultado apresentado é a determinação de um majorante para a duração do ciclo em regime permanente (parâmetro s) mesmo que as condições suficientes de excitação definidas pela proposição 9 não sejam respeitadas.

Artigo submetido em 15/12/2004

1a. Revisão em 04/02/2005;

2a. Revisão em 12/04/2005;

ARTIGO CONVIDADO:

Versão completa e revisada de artigo apresentado no CBA-2004

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Paulo Eigi Miyagi

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1

A operação * é a clássica estrela de Kleene utilizada em Teoria de Autômatos e Linguagens Formais.

2

Observa-se que os graus dos polinômios

p(g) e

q(g) são respectivamente n - 1 e

r - 1.

3

a Ù

b é o maior elemento menor que

a e menor que

b.

4

O sistema é dito relaxado num determinado instante de tempo se nenhum disparo puder ocorrer, a partir desse instante, nas transições internas e de saída do sistema, supondo que não ocorra nenhum disparo nas transições de entrada do sistema.

5

Convenciona-se que ë

xûé o maior inteiro menor que

x.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  08 Maio 2006
• Data do Fascículo
  Dez 2005

Histórico

• Aceito
  12 Abr 2005
• Revisado
  04 Fev 2005
• Recebido
  15 Dez 2004