Modalidades bivalentes e modalidades polivalentes: o caso das lógicas modais trivaloradas

Bivalent modalities and multiple-valued modalities: the case of trivalued modal logics

RESUMO

A conexão entre lógicas multivaloradas e lógicas modais é antiga. As investigações pioneiras de Łukasiewicz em 1920 acerca de futuros contingentes por meio de lógicas multivaloradas foram tentativas de caracterizar modalidades por meio de valores de verdade. Embora lógicas modais e as multivaloradas constituam campos autônomos de investigação, suas interações são muito prolíficas. Neste artigo, investigamos lógicas modais trivaloradas baseadas nas lógicas trivaloradas LP, K₃, TS e ST. Mais especificamente, discutimos duas possíveis maneiras de interpretar sentenças modais: (i) sentenças modais ◻A e ◇A podem receber somente verdadeiro ou falso; e (ii) sentenças modais também podem receber valores intermediários. Argumentamos que ambas caracterizações possuem virtudes e problemas. No caso (i), argumentamos que elas validam princípios modais que contrariam suas próprias inferências a nível proposicional. Já no caso (ii), argumentamos que sua proximidade com a lógica clássica impõe certas dificuldades em algumas aplicações dessas lógicas.

Palavras-chave:
lógicas modais; lógicas multivaloradas; lógicas subestruturais.

ABSTRACT

The connection between many-valued logics and modal logics is old. Łukasiewicz›s pioneering investigations in 1920 about future contingents through multivalued logics attempted to characterize modalities through truth values. Although modal and multivalued logics constitute autonomous fields of investigation, their interactions are very prolific. In this article, we investigate three-valued modal logics based on the three-valued logics LP, K₃, TS and ST. More specifically, we discuss two possible ways to interpret modal sentences: (i) modal sentences ◻A and ◇A can receive only true or false; and (ii) modal sentences can also receive intermediate values. We argue that both characterizations have virtues and problems. In case (i), we argue that they validate modal principles that contradict their inferences at the propositional level. In case (ii), we argue that its proximity to classical logic imposes certain difficulties in some applications of these logics.

Keywords:
modal logics; many-valued logics; substructural logics.

1 Introdução

A conexão entre lógicas multivaloradas e lógicas modais é antiga. De fato, como Kneale e Kneale (1962), Rescher (1969) e Ballarin (2010) apontam, as investigações pioneiras de Łukasiewicz em 1920 acerca de futuros contingentes por meio de lógicas multivaloradas foram tentativas de caracterizar modalidades por meio de valores de verdade. É sabido que na lógica Ł₃, o valor intermediário ½ foi introduzido para formalizar o conceito de “possibilidade” (◇). Desse modo, uma sentença do tipo ◇A é verdadeira (i.e., recebe o valor 1) no caso em que A recebe o valor ½. Por outro lado, a introdução de um valor de verdade para capturar o conceito de possibilidade enfrentou problemas. Por exemplo, Dugundji (1940) mostra que lógicas modais de implicação estrita de Lewis & Langford (1932) não podem ser caracterizadas por tabelas de verdade finitas.¹ Além disso, Suszko (1977) e Haack (1978) argumentam contra a ideia de que o conceito de possibilidade seja adequadamente caracterizado por um valor de verdade. Embora a caracterização de Łukasiewicz falhe em capturar modalidades por meio de valores de verdade, ela mostra que um dos tratamentos pioneiros das lógicas multivaloradas possui uma forte conexão com lógicas modais.

Tanto as lógicas modais quanto as multivaloradas constituem campos autônomos de investigação e que possuem aplicações filosóficas interessantes na literatura filosófica. No caso das lógicas multivaloradas, encontramos aplicações na análise dos paradoxos semânticos (Priest, 1979; Kripke, 1976; Cobreros et al. 2013; Murzi e Rossi, 2021; etc), e em aplicações epistêmicas (Belnap, 1977; Carnielli, 1990; Carnielli e Lima Marques, 1999; Kubyshkina e Zaitsev, 2016; etc). Já as lógicas modais possuem aplicações epistêmicas (Stalnaker, 2006), temporais (Prior, 1957), deônticas (Chellas, 1980), aléticas (Kripke, 1963), entre outras. Dado que as lógicas modais e as multivaloradas são filosoficamente prolíficas, o estudo de modalidades em lógicas multivaloradas permite a análise de interessantes problemas filosóficos, tais como o estudo de predicados modais em teorias formais aritméticas (Égré, 2005) e no estudo do conceito de vagueza (Priest, 2008).

O estudo de lógicas modais multivaloradas também não é novo na literatura. De fato, os trabalhos de Segerberg (1967), Schotch et al. (1978) e Morikawa (1979) são pioneiros nesse estudo. Nesses trabalhos, encontramos duas maneiras de caracterizar semanticamente as modalidades ◻ e ◇ nessas lógicas: (i) sentenças modais ◻A e ◇A podem ser somente verdadeiras ou falsas, e (ii) sentenças modais podem receber valores intermediários. Claramente, não são caracterizações incompatíveis. Como Sergerberg mostra, é possível acomodar ambas caracterizações em um mesmo sistema lógico. Por outro lado, essas duas maneiras de interpretar sentenças modais trazem problemas filosóficos interessantes. Neste artigo, mostramos que ambas caracterizações possuem virtudes e problemas. No caso das modalidades trivaloradas, argumentamos que elas validam princípios modais que contrariam suas próprias inferências a nível proposicional. Por exemplo, no caso de lógicas paraconsistentes que falham em validar a regra de inferência Modus Ponens (MP), essas modalidades validam o axioma K, que por sua vez internaliza uma forma de MP.

Já no caso das modalidades bivaloradas, argumentamos que sua proximidade com a lógica clássica impõe certas dificuldades em algumas aplicações dessas lógicas. Por exemplo, Cobreros et al. (2012) argumentam que a lógica ST é adequada para formalizar raciocínios contendo conceitos vagos. De acordo com Priest (2008), se aceitamos que conceitos vagos podem ter propriedades essenciais/acidentais, então a lógica modal que estende uma lógica tal como ST deve admitir interpretações nas quais ◻A e ◇A recebem valores intermediários. Outra dificuldade que essas lógicas modais com modalidades bivalentes podem encontrar é na análise de sentenças autorreferenciais. Como Solovay (1976), Skyrms (1978), Smorynsky (1980), Egré (2005), Naumov (2012), Stern (2014, 2015) e Stern e Nicolai (2021) mostram, lógicas modais são ferramentas interessantes na análise de sentenças autorreferenciais. Por outro lado, muitas lógicas modais não são adequadas nessa análise pois muitas são inconsistentes com sentenças autorreferenciais. Como Egré (2005) sugere, lógicas modais não-clássicas poderiam ser adequadas nessa análise. O problema é que se as sentenças modais dessas lógicas modais recebem somente valores clássicos, há o risco de que esses métodos de autorreferência também sejam inconsistentes com essas lógicas.

Este artigo é organizado como segue. Na seção 2, introduzimos as lógicas multivaloradas que serão analisadas neste trabalho. Particularmente, nos focaremos nas lógica LP (Asenjo, 1966; Priest, 1979), K₃ (Kleene, 1938), TS (French, 2016) e ST (Cobreros et al., 2012). As razões pela qual apresentaremos essas lógicas são que elas partilham uma estrutura semântica, e que são lógicas amplamente adotadas na literatura filosófica sobre paradoxos semânticos. Além disso, são lógicas que não foram suficientemente exploradas do ponto de vista modal, especialmente as lógicas TS e ST. Desse modo, este trabalho é uma contribuição no estudo de lógicas modais multivaloradas. Na seção 3, introduzimos as extensões modais dessas lógicas. Na seção 3.1, apresentamos as lógicas modais cujas modalidades são interpretadas recebendo valores intermediários. Nesta seção, discutimos as virtudes e os problemas dessa caracterização. Na seção 3.2, apresentamos as lógicas modais cujas modalidades recebem somente verdadeiro e falso, e também discutimos suas virtudes e suas limitações. Na seção 4, encerramos a discussão, delineando direções futuras para pesquisa.

2 Lógicas multivaloradas, lógicas subestruturais e suas extensões modais

As lógicas L com as quais nos ocuparemos nesta seção possuem a linguagem L_L = {𝒱, ¬, ⋀, ⋁}, onde 𝒱 = {p_i | i ∊ ℕ} é um conjunto enumerável de variáveis proposicionais, ¬, ⋀ e ⋁ são os conectivos de negação, conjunção e disjunção, respectivamente. Neste trabalho, utilizaremos p, q, r ... ao invés de p₁, p₂, p₃, ... por uma questão de conveniência. Além disso, utilizaremos as letras maiúsculas A, B, C, ... como metavariáveis para fórmulas. O conjunto de fórmulas For_L é definido recursivamente da maneira usual. Do ponto de vista semântico, essas lógicas são caracterizadas pelas matrizes da forma M_L = 〈{1, ½, 0}, ¬, ⋀, ⋁, D₁, D₂〉, onde {1, ½, 0} é o conjunto de valores de verdade ¬, ⋀ e ⋁ são as funções de verdade correspondentes aos conectivos anteriormente mencionados e que são interpretados de acordo com as seguintes tabelas de verdade:

.

	¬
1	0
½	½
0	1

.

⋀	1	½	0
1	1	½	0
½	½	½	0
0	0	0	0

.

⋁	1	½	0
1	1	1	1
½	1	½	½
0	1	½	0

D₁, D₂ ⊆ {1, ½, 0} são standards, onde é possível que D₁ = D₂. Um standard determina o que significa para uma valoração v: For_L → {1, ½, 0} confirmar ou refutar uma inferência. Quando D₁ = D₂, os valores de verdades que pertencem a esse conjunto são chamados de distinguidos. As valorações v que respeitam as tabelas de verdade acima são chamadas de valorações Kleene Forte (doravante, valorações-KF). O conjunto de todas as valorações de uma lógica L é denotado por Sem_L.

Dadas as tabelas de verdade acima, o condicional material → é definido como segue:

$$A\mathrm{}\to \mathrm{}B\mathrm{}:=\mathrm{}\neg A\bigvee \mathrm{}B$$

$$A\mathrm{}\leftrightarrow \mathrm{}B\mathrm{}:=\mathrm{}(A\mathrm{}\to \mathrm{}B)\mathrm{}\bigwedge \mathrm{}(B\mathrm{}\to \mathrm{}A)$$

Consequentemente, as tabelas de verdade de → e ↔ são como segue:

.

→	1	½	0
1	1	½	0
½	1	½	½
0	1	1	1

.

↔	1	½	0
1	1	½	0
½	½	½	½
0	0	½	1

A partir desse aparato semântico, podemos definir diferentes lógicas, que são apresentadas pelas seguintes definições:

Definição 2.1. A Lógica do Paradoxo LP (Asenjo, 1966; Priest, 1979) é caracterizada pela matrix M_LP = 〈{1, ½, 0}, ¬, ⋀, ⋁, {1, ½}〉. Dizemos que v ∊ Sem_LP satisfaz A se v(A) ∊ {1, ½}. A é uma tautologia (|=_LP A) se todo v ∊ Sem_LP satisfaz A. Uma fórmula A é consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ (Γ |=_LP A) se e somente se para todas as valorações v ∊ Sem_LP:

Se v satisfaz γ, para todo γ ∊ Γ, então v satisfaz A.

Como podemos ver, a lógica LP não valida a inferência A, ¬A |=_LP B, para todo B ∊ For_LP. Essa inferência é conhecida como Princípio de Explosão. Para ver que LP não valida essa inferência, considere uma valoração v ∊ Sem_LP tal que v(¬A) = ½ e v(B) = 0. Claramente, v(A) = v(¬A) = ½. Consequentemente, A, ¬A |=/_LP B (i.e., não- A,¬A |=_LP B). Por não validar o referido princípio, LP é uma lógica paraconsistente. Uma outra inferência que não é validada por LP é o Modus Ponens (MP): A, A → B |=_LP B. A mesma valoração que invalida o Princípio de Explosão pode ser utilizada para invalidar MP.

Definição 2.2. A lógica de Kleene K₃ (Kleene, 1938) é caracterizada pela matrix M_K3 = 〈{1, ½, 0}, ¬, ⋀, ⋁, {1}〉. Dizemos que v ∊ Sem_K3 satisfaz A se v(A) = 1. Uma fórmula A é consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ (Γ |=_K3 A) se e somente se para todas as valorações v ∊ Sem_K3:

Se v satisfaz γ, para todo γ ∊ Γ, então v satisfaz A.

Da Definição 2.2, é imediato que K₃ não valida |=_K3 A ⋁ ¬A, o Princípio do Terceiro Excluído. Considere uma valoração v ∊ Sem_K3 tal que v(A) = ½. Logo, v(¬A) = ½. Por conseguinte, v(A ⋁ ¬A) = ½. Consequentemente, |=/_K3 A ⋁ ¬A. Por não validar esse princípio, K₃ é uma lógica paracompleta. A lógica K₃ não possui tautologias. Como podemos ver, a matriz M_K3 não possui operações c tais que c(½, ½) ∊ {1,0}. Assim, toda fórmula receberá ½ em alguma valoração v ∊ Sem_K3. Uma vez que o valor ½ não é distinguido em K₃, nenhuma fórmula é uma tautologia.

Como podemos ver, a relação Γ |= A vigora em ambas LP e K₃ quando há preservação de valores de verdade de um mesmo standard das premissas à conclusão. Ou seja, Γ |= A vigora quando há preservação de valores distinguidos das premissas à conclusão. Como Łos & Suszko (1958), uma relação |=_L definida como preservação de um mesmo subconjunto de valores de verdade do conjunto de premissas à conclusão satisfaz as seguintes propriedades:

(Reflexividade) Γ, A |=_L A;

(Monotonicidade) Se Γ |=_L A e Γ ⊆ Δ, então Δ |=_L A;

(Corte) Se Γ |=_L A e Δ, A |=_L B, então Γ, Δ |=_L B.

Apresentaremos agora duas lógicas cujas relações de consequência possuem standards distintos para as premissas e para a conclusão.

Definição 2.3. A Lógica TS (French, 2016) é caracterizada pela matriz M_TS = 〈{1, ½, 0}, ¬, ⋀, ⋁, {1, ½}, {1}〉. Dizemos que v ∊ Sem_TS é um modelo para A se v(A) = 1. A é uma tautologia se todo v ∊ Sem_TS é um modelo para A. Uma fórmula A é consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ (Γ |=_TS A) se e somente se para todas as valorações v ∊ Sem_TS:

Se v(γ) ∊ {1, ½}, para todo γ ∊ Γ, então v(A) = 1.

A lógica TS é não-reflexiva. Considere uma valoração v ∊ Sem_TS tal que v(p) = ½. Da definição de |=_TS, concluímos que p |=/_TS p (i.e., não é o caso que p |=_TS p). French (2017) mostra que a lógica TS não possui nem tautologias nem inferências válidas. Por outro lado, valida todas as metainferências clássicas. Uma metainferência é uma inferência que possui outras inferências como premissas. A propriedade de (Corte) é um exemplo claro de metainferência.

Definição 2.4. A Lógica ST (Cobreros et al. 2012; Ripley, 2012, 2013) é caracterizada pela matrix M_ST = 〈{1, ½, 0}, ¬, ⋀, ⋁, {1}, {1, ½}〉. Dizemos que v ∊ Sem_ST é um modelo para A se v(A) ∊ {1, ½}. A é uma tautologia se todo v ∊ Sem_ST é um modelo para A. Uma fórmula A é consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ (Γ |=_ST A) se e somente se para todas as valorações v ∊ Sem_ST:

Se v(γ) = 1, para todo γ ∊ Γ, então v(A) ∊ {1, ½}.

A lógica ST não possui a propriedade de corte. Suponha Γ = {p}, Δ = ∅, A = q, B = r, e que toda valoração v ∊ Sem_ST seja tal que v(p) = 1, v(q) = ½ e v(r) = 0. Logo, p |=_ST q e q |=_ST r, mas p |=/_ST r. Por outro lado, tanto ST quanto a lógica proposicional clássica (doravante, LPC) validam as mesmas tautologias e inferências válidas. Uma vez que falha a propriedade de (Corte), ST e LPC diferem em suas metainferências. Em função da falha (Corte), ST falha em validar a versão metainferencial do MP (Meta-MP):

$$\frac{|=\mathrm{}A\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}|=\mathrm{}A\to \mathrm{B}}{|=\mathrm{}B}$$

Por não validarem (Reflexividade) e (Corte), respectivamente, TS e ST são chamadas na literatura de lógicas subestruturais. Aqui é importante fazer uma ressalva. A terminologia subestrutural, no presente caso, é proveniente de cálculo de sequentes. Nesses sistemas de dedução, as propriedades de (Reflexividade), (Monotonicidade) e (Corte) são regras estruturais. Desse modo, um cálculo de sequentes para TS e para ST não possuem, respectivamente, a regra de (Reflexividade) e a de (Corte). Aqui escolhemos manter essa terminologia por uma questão de uniformidade bibliográfica com a literatura que apresenta essas lógicas, embora estejamos cientes que o conceito de estruturalidade é proveniente dos trabalhos de Tarski sobre a noção de consequência lógica.

A razão pela qual apresentamos as lógicas LP, K₃, TS e ST dá-se pelo fato de que são lógicas vem sendo amplamente estudadas na literatura filosófica. Elas são comumente empregadas como soluções para os paradoxos semânticos que envolvem tanto o predicado de verdade quanto o predicado de validade. No caso da lógica LP, por exemplo, encontramos teorias da verdade e da validade que a adotam como lógica de base (Goodship, 1996; Priest, 2006; Pailos, 2020). Já a lógica K₃ pode ser aplicada à teoria da verdade de pontos fixos de Kripke (1976). No caso de TS, encontramos aplicações nos trabalhos (French, 2016; Murzi e Rossi, 2021). Finalmente, no caso de ST, encontramos aplicações em (Cobreros et al., 2012, Ripley 2012, 2013; Barrio et al., 2015, 2016).

Antes de prosseguirmos, é importante dizer que a investigação feita neste trabalho é puramente semântica. Embora seja perfeitamente possível apresentar sistemas de dedução para as lógicas modais aqui investigadas, isso será deixado para investigação futura. A razão pela qual nos ocuparemos somente dos aspectos modelos teóricos dessas lógicas levanta é que esses aspectos são por si só interessantes para discussão. Desse modo, apresentaremos ambas caracterizações e discutiremos suas particularidades. Na Conclusão, faremos observações acerca da construção desses sistemas dedutivos.

3 Lógicas modais

Nesta seção, apresentaremos extensões modais para as lógicas LP, K₃, TS e ST. A linguagem modal L_L(◻◇), para L ∊ {LP, K₃, TS, ST} é obtida a partir da extensão de L com os operadores unários ◻ e ◇. O conjunto de fórmulas For_L(◻◇) de L_L(◻◇) é definido de maneira usual.

Definição 3.1 A extensão modal da lógica L é denotada por L(M).

Dado que as lógicas acima apresentadas foram semanticamente caracterizadas mediante matrizes finitamente valoradas, surge a questão de como caracterizar as modalidades ◻ e ◇ das lógicas L(M). Na literatura sobre lógicas modais baseada em lógicas que possuem mais de dois valores de verdade, multivaloradas, encontramos diferentes caracterizações. Sergerberg (1967), Schotch et al. (1978), Morikawa (1989) e Priest (2008), por exemplo, apresentam caracterizações que permitem que ◻ e ◇ recebam valores intermediários. Já Sergerberg (1967), Schotch et al. (1978), Morikawa (1989) e Bezerra e Venturi (2022) apresentam caracterizações bivalentes dessas modalidades. Isto é, fórmulas tais como ◻A e ◇A recebem somente os valores 1 e 0. No que segue, apresentamos ambas caracterizações e apresentaremos algumas características interessantes sobre elas. As lógicas L(M) caracterizadas pelos modelos que atribuem valores intermediários para fórmulas tais como ◻A e ◇A serão chamadas de L(M3), ao passo que as caracterizadas pelos modelos que somente atribuem 1 ou 0 para fórmulas ◻A e ◇A serão chamadas de L(M2).

3.1.2 As lógicas L(M3)

Definição 3.1.2. Um frame F = 〈W, R〉 é um par onde W é um conjunto não-vazio de mundos, e R ⊆ W x W é a relação de acessibilidade entre mundos em W. Um modelo baseado em F é uma estrutura 𝔐₃ = 〈F, M_L, v〉 onde M_L é a matriz de L, e v é uma atribuição tal que, para todo w ∊ W, v_w(p_i) ∊ {1, ½, 0}. A atribuição v é recursivamente estendida como segue:

(i) Os valores de v_w(¬A) e v_w (A c B), onde c ∊ {⋀, ⋁}, são dados pelas tabelas de verdade de ¬, ⋀, e ⋁.

(ii) v_w(◻A) = Inf{v_y(A) | wRy}.

(iii) v_w(◇A) = Sup{v_y(A) | wRy}.

As noções de verdade e validade nos modelos modais são definidas como segue:

LP(M3): Dizemos que A ∊ For _LP(◻◇) é verdadeira em um modelo 𝔐₃ = 〈F, M_LP, v〉 se para todo w ∊ W, v_w(A) ∊ {1, ½, 0}. A é válida em um frame F se é verdadeira em todo modelo 𝔐₃ baseado em F. A relação Γ |=_LP(M3) A é definida como segue. Para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_LP, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W: se v_w(γ) ∊ {1, ½}, para todo γ ∊ Γ, então v_w(A) ∊ {1, ½}.

K₃(M3): Dizemos que A ∊ For _LP(◻◇) é verdadeira em um modelo 𝔐₃ = 〈F, M_K3, v〉 se para todo w ∊ W, v_w(A) = 1. A é válida em um frame F se é verdadeira em todo modelo 𝔐₃ baseado em F. A relação Γ |=_K3(M3) A é definida como segue. Para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_K3, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W: se v_w(γ) = 1, para todo γ ∊ Γ, então v_w(A) = 1.

TS(M3): Dizemos que A ∊ For _TS(◻◇) é verdadeira em um modelo 𝔐₃ = 〈F, M_TS, v〉 se para todo w ∊ W, v_w(A) = 1. A é válida em um frame F se é verdadeira em todo modelo 𝔐₃ baseado em F. A relação Γ |=_TS(M3) A é definida como segue. Para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_TS, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W: se v_w(γ) ∊ {1, ½}, para todo γ ∊ Γ, então v_w(A) = 1.

ST(M3): Dizemos que A ∊ For _ST(◻◇) é verdadeira em um modelo 𝔐₃ = 〈F, M_ST, v〉 se para todo w ∊ W, v_w(A) = 1. A é válida em um frame F se é verdadeira em todo modelo 𝔐₃ baseado em F. A relação Γ |=_ST(M3) A é definida como segue. Para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_ST, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W: se v_w(γ) = 1, para todo γ ∊ Γ, então v_w(A) ∊ {1, ½}.

Quando L é a LPC, obtemos a lógica modal K (Hughes e Cresswell, 1996), que é caracterizada pelos seguintes axiomas e regras:

(Taut) Todas as tautologias proposicionais.

(K) ◻(A → B) → (◻A → ◻B).

(Nec) se A é válido, então ◻A é válido.

(MP) De A e A → B, inferimos B.

Como podemos ver, os operadores modais são definidos de maneira análoga aos quantificadores das lógicas multivaloradas de primeira ordem (Priest, 2008). Isto é, uma fórmula ◻A recebe o valor 1 em um mundo w somente no caso de A receber o valor 1 em todos os mundos y acessados por w. ◻A recebe o valor ½ em um mundo w no caso de (i) A receber o valor ½ em todos os mundos y acessados por w; ou (ii) A recebe 1 em alguns mundos y e ½ em alguns mundos z, ambos acessados por w. ◻A recebe o valor 0 no caso de A receber 0 em ao menos um mundo y acessado por w. Já ◇A recebe o valor 1 em w no caso de A receber 1 em ao menos um mundo y acessado por w; ◇A recebe o valor ½ em w no caso de (i’) A receber o valor ½ em todos os mundos y acessados por w; ou (ii) A recebe 0 em alguns mundos y e ½ em alguns mundos z, ambos acessados por w; ◇A recebe o valor 0 em w no caso de A receber 0 em todos os mundos y acessados por w.

Da Definição 3.1.2, obtemos o seguinte resultado:

Teorema 3.1.3. (a) (K) é válido em LP(M3) e ST(M3), e não é válido em K₃(M3) e TS(M3).

(b) ◻A ↔ ¬◇¬A (Def◻) e ◇A ↔ ¬◻¬A (Def◇) são válidos em LP(M3) e ST(M3), e não são válidos em K₃(M3) e TS(M3).

(c) ◻A =||= ¬◇¬A (Def*◻) e ◇A =||= ¬◻¬A (Def*◇) são válidos em LP(M3), ST(M3) e K₃(M3).

(d) K₃(M3) e TS(M3) não possuem fórmulas válidas e TS(M3) não possui inferências válidas.

(e) (Nec) é válida em LP(M3), ST(M3), K₃(M3) e TS(M3).

Prova: Mostraremos alguns itens. Os demais ficam a cargo do leitor. Mostraremos agora o item (a). Suponha que ◻(A → B) e ◻A sejam válidos em um frame F. Então, para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_ST, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W, v_w(◻(A → B)) ∊ {1, ½, 0}, v_w(◻A) ∊ {1, ½, 0}. Analisaremos agora os possíveis casos. (I) Se v_w(◻(A → B)) = v_w(◻A) = 1, então, para todo y ∊ W, é o caso que v_y(A → B) = v_y(A) = 1. Nesse caso, é imediato que v_y(B) = 1. Então, v_w(◻B) = 1. Portanto, v_w(◻(A → B) → (◻A → ◻B)) = 1. (II) Se v_w(◻(A → B)) = 1 e v_w(◻A) = ½, então v_y(B) = 1, para todo y ∊ W. Logo, v_w(◻B) = 1. Portanto, v_w(◻(A → B) → (◻A → ◻B)) = 1. (III) Se v_w(◻(A → B)) = ½ e v_w(◻A) = 1, sabemos que v_y(B) ∊ {1, ½}, para todo y ∊ W. Logo, v_w(◻B) = ½. Daqui, v_w(◻(A → B) → (◻A → ◻B)) = ½. (IV) Se v_w(◻(A → B)) = v_w(◻A) = ½, temos as seguintes possibilidades: (IVa) v_y(B) = 0, para algum y ∊ W; (IVb) v_y(B) = 0, para todo y ∊ W; (IVc) algum z ∊ W tal que v_y(B) = ½ e algum z ∊ W tal que v_y(B) = 1; e (IVd) v_y(B) = ½, para todo y ∊ W. Em qualquer caso, v_w(◻A → ◻B) = ½. Portanto, v_w(◻(A → B) → (◻A → ◻B)) = ½, para todo modelo 𝔐₃ = 〈F, M_ST, v〉 baseado em F. Logo, (K) é válido em LP(M3) e ST(M3). Essa fórmula não é válida em K₃(M3) e em TS(M3) em virtude do valor ½.

Mostraremos agora o item (b). Considere que A = p. Seja F um frame e 𝔐₃ = 〈F, M_K3, v〉 um modelo baseado em F, onde para todo w, y ∊ W tal que wRy, v_w(p) = v_y(p) = ½. Então, v_w(◻p) = v_w(¬◇¬p) = ½. Portanto, v_w(◻p ↔ ¬◇¬p) = ½. Uma vez que ½ não é distinguido em K₃ e não torna uma sentença verdadeira em TS, então (Def◻) não é válido em K₃(M3) e em TS(M3). A partir desse mesmo modelo, obtemos que v_w(¬p) = v_y(¬p) = ½. Então, v_w(◇p) = v_w(◻¬p) = v_w(¬◻¬p) = ½. Daqui, v_w(◇p ↔ ¬◻¬p) = ½. Portanto, (Def◇) não é válido em K₃(M3) e em TS(M3). Dado que o valor é distinguido em LP(M3) e torna a sentença verdadeira em ST(M3), (Def◻) e (Def◇) são válidos em LP(M3) e em ST(M3).

Em relação ao item (d), mostramos anteriormente que as lógicas K₃ e TS não possuem tautologias em virtude do valor ½. Uma vez que as modalidades também podem receber ½, K₃(M3) e em TS(M3) não possuem fórmulas válidas. Que TS(M3) não possui inferências válidas se segue do fato de TS também não possuí-las.

Em relação ao item (e), notamos que (Nec) é vacuamente válida em K₃(M3) e TS(M3), pois o antecedente da regra nunca é satisfeito. Isso conclui a prova. Q.E.D.²

Como podemos ver, nenhuma restrição foi imposta em R. Ou seja, todas as validades das lógicas LP(M3), ST(M3), K₃(M3) e TS(M3) valem para a classe de todos os frames. É sabido que, ao restringirmos R com certas propriedades, obtemos lógicas modais mais fortes. Para os propósitos deste artigo, os frames reflexivos e/ou transitivos são suficientes. Considere a seguinte definição:

Definição 3.1.4. Seja R um conjunto e R ⊆ W x W uma relação em W.

(a) Dizemos que R é reflexiva se, e somente se, para todo w ∊ W: wRw.

(b) Dizemos que R é transitiva se, e somente se, para todo x,y,z ∊ W: se xRy e yRz, então xRz.

As lógicas obtidas a partir dessas restrições são definidas a seguir.

Definição 3.1.5. (a) LP(M3T), ST(M3T), K₃(M3T) e TS(M3T) são as lógicas caracterizadas por frames reflexivos.

(b) LP(M34), ST(M34), K₃(M34) e TS(M34) são as lógicas caracterizadas por frames transitivos.

(c) LP(M3T4), ST(M3T4), K₃(M3T4) e TS(M3T4) são as lógicas caracterizadas por frames reflexivos e transitivos.

Claramente, se a lógica proposicional da base é LPC, então as lógicas obtidas dessas restrições são: (a) KT, (b) K4 e (c) KT4 (= S4). Da Definição 3.1.5, temos o seguinte resultado:

Teorema 3.1.6. (a) ◻A → A (T) e ◻A → ◇A (D) são válidos em LP(M3T), LP(M3T4), ST(M3T), e em ST(M3T4) mas não são em K₃(M3T), K₃(M3T4), TS(M3T), e em TS(M3T4).

(b) ◻A |= A (T*) e ◻A |= ◇A (D*) são válidos em LP(M3T), LP(M3T4), ST(M3T), ST(M3T4), K₃(M3T), K₃(M3T4), mas não em TS(M3T) e TS(M3T4).

(c) ◻A → ◻◻A (4) é válido em LP(M34) e em ST(M34), mas não é em K₃(M34) e em TS(M3T).

(d) ◻A |= ◻◻A (4*) é válido em LP(M34), LP(M3T4), ST(M34), ST(M3T4), K₃(M34), e K₃(M3T4).

Essas lógicas modais possuem aplicações filosóficas interessantes. No caso de K₃(M3), Priest (2008) mostra que ela pode ser aplicada na análise de futuros contingentes e na análise do conceito de vagueza. O mesmo se aplica à lógica ST(M3) e suas extensões, visto que ST foi originalmente proposta para formalizar predicados vagos (Cobreros et al., 2012). As lógicas LP(M3), TS(M3) e ST(M3) podem ser aplicadas na análise de predicados modais. Egré (2005) apresenta uma série de resultados de inconsistência envolvendo predicados que estendem a linguagem aritmética e que satisfazem princípios modais, tais como (K), (T) e (Nec).³ Ele mostra que a sentença A ↔ ¬◻A torna inconsistente uma quantidade considerável de teorias aritméticas estendidas com predicados modais. Uma vez que as lógicas LP, TS e ST são lógicas adotadas na análise de paradoxos semânticos, suas extensões modais podem trazer resultados interessantes.

Embora essas lógicas possam ter aplicações interessantes, elas enfrentam dificuldades ao nível conceitual. Um dos problemas que ressaltamos aqui é que algumas dessas lógicas modais validam princípios modais que contrariam suas próprias inferências a nível proposicional. Consideremos os casos das lógicas LP(M3) e ST(M3) e suas extensões. Essas lógicas validam o axioma (K). O axioma (K) diz que MP preserva necessidade (alética, epistêmica, lógica, deôntica, etc.). Entretanto, LP(M3) não valida MP e tanto LP(M3) quanto ST(M3) também falham em validar Meta-MP:

$$\frac{|=A|=A\to B}{|=B}$$

Nesse sentido, por validarem o axioma (K) e não validarem Meta-MP, podemos dizer que os princípios modais internalizam inferências que não são válidas proposicionalmente.

Essa dissimetria entre os princípios modais validados e as inferências não-modais, tal como expressa na relação entre o princípio (K) e a regra MP, é conceitualmente problemática para alguém que proponha essas lógicas como ferramentas para analisar certos conceitos filosóficos. Por exemplo, de acordo com a interpretação epistêmica das lógicas modais (Stalnaker, 2006), o axioma (K) enuncia o princípio da onisciência lógica, que diz que nosso conhecimento é fechado mediante consequência lógica. Se adotássemos lógicas que estendem LP(M3) ou ST(M3), enfrentaríamos a dificuldade de explicar o porquê do axioma (K) valer ao passo que MP e Meta-MP não valem. O mesmo se aplicaria numa interpretação de ◻ como necessidade lógica (Skyrms, 1978; Burgess, 1999). De acordo com essa última interpretação, (K) diz que validade lógica é preservada diante MP. A falha dessa regra seria uma dificuldade para quem defende a aplicação das lógicas LP(M3) ou ST(M3). Desse modo, é preciso uma maneira distinta para caracterizar semanticamente os operadores modais.

Dentre as possíveis interpretações das modalidades, as interpretações de ◻ e ◇ enquanto verdade lógica e possibilidade lógica, respectivamente, não parecem ser compatível com atribuições do valor ½ às sentenças que são antecedidas por operadores modais. Conceitos tais como, verdade lógica, provabilidade aritmética, entre outros, parecem requerer uma interpretação clássica. Como Pailos (2020) ressalta, uma asserção de validade é exclusivamente verdadeira ou falsa. Se ½ é interpretado como “verdadeiro e falso” (Priest, 1979) e ◻ é interpretado como “é demonstrável que”, é adequado permitir que uma fórmula ◻A receba o valor ½? Para que tal possibilidade faça sentido, é necessário admitir que os conceitos metalógicos tais como validade, provabilidade, e consistência possam ser caracterizados por lógicas não clássicas (Bacon, 2013). Como se trata de um problema em aberto, não tomaremos partido.⁴ No que segue, apresentaremos as lógicas L(M2), nas quais as modalidades são interpretadas como recebendo somente 1 e 0.

3.2 As lógicas L(M2)

No que segue, definimos os modelos que atribuem somente valores clássicos para fórmulas modais.

Definição 3.2.1 Seja F um frame. Um modelo 𝔐₂ = 〈F, M_L, v〉 é definido como um modelo 𝔐₃ = 〈F, M_L, v〉 da Definição 3.1.2, exceto no que diz respeito às cláusulas modais, que são definidas como segue:

- Para K₃(M2) e TS(M2):

(i) v_w(◻A) = 1 se e somente se para todo y ∊ W tal que wRy, v_y(A) = 1; caso contrário, v_w(◻A) = 0.

(ii) v_w(◇A) = 1 se e somente se para algum y ∊ W tal que wRy, v_y(A) = 1; caso contrário, v_w(◇A) = 0.

- Para LP(M2) e ST(M2):

(i) v_w(◻A) = 1 se e somente se para todo y ∊ W tal que wRy, v_y(A) ∊ {1, ½}; caso contrário, v_w(◻A) = 0.

(ii) v_w(◇A) = 1 se e somente se para algum y ∊ W tal que wRy, v_y(A) ∊ {1, ½}; caso contrário, v_w(◇A) = 0.

As definições de verdade e validade são as mesmas da Definição 3.1.2.

Da mesma maneira que na Definição 3.1.2, à relação R não foi imposta restrição alguma. Restrições a R nos darão lógicas mais fortes. Da Definição 3.2.1 obtemos o seguinte resultado:

Teorema 3.2.2 (a) (K) é válido em K₃(M2) e TS(M2), e não é válido em LP(M2) e ST(M2).

(b) (Def◻) e (Def◇) não são válidos nas L(M2).

(c) (Nec) é válido nas L(M2).

Prova. (a) Uma vez que nem K₃(M2) nem TS(M2) possuem fórmulas válidas, (K) vale vacuamente. Agora, sejam A = p e B = q. Considere agora um frame F = 〈W, R〉, onde W = {w, y} e R = {<x, y>} e 𝔐₂ = 〈F, M_LP, v〉 um modelo baseado em F, onde v_w(p) = v_y(p) = ½ e v_w(q) = v_y(q) = 0. Pela tabela de verdade de →, v_w(p → q) = v_y(p → q) = ½. Pela definição semântica de ◻, v_w(◻(p → q)) = v_w(◻p) = 1 e v_w(◻q) = 0. Assim, v_w(◻p → ◻q) = 0. Portanto, v_w(◻(p → q) → (◻p → ◻q)) = 0. O mesmo vale para ST(M2).

(b) Seja A = p e considere agora um frame F = 〈W, R〉 onde W = {w, y} e R = {<x, y>} e 𝔐₂ = 〈F, M_LP, v〉 um modelo baseado em F, onde v_w(p) = v_y(p) = ½. Logo, v_w(◻p) = 1, v_w(¬p) = ½, e v_w(◇¬p) = 1. Então, v_w(¬◇¬p) = 0. Claramente, v_w(◻p ↔ ¬◇¬p) = 0. O mesmo raciocínio se aplica às demais L(M2) analisadas neste artigo.

(c) segue o mesmo raciocínio do Teorema 3.1.3. Isso conclui a prova. Q.E.D.

Como dissemos anteriormente, a adição de restrições à relação R nos dá extensões das lógicas LP(M2), ST(M2), K₃(M2) e TS(M2), que são apresentadas na seguinte definição.

Definição 3.2.3 (a) LP(M2T), ST(M2T), K₃(M2T) e TS(M2T) são as lógicas caracterizadas por frames reflexivos.

(b) LP(M24), ST(M24), K₃(M24) e TS(M24) são as lógicas caracterizadas por frames transitivos.

(c) LP(M2T4), ST(M2T4), K₃(M2T4) e TS(M2T4) são as lógicas caracterizadas por frames reflexivos e transitivos.

Da Definição 3.2.3, obtemos o seguinte:

Teorema 3.2.4. (a) (T) e (D) são válidos em LP(M2T), LP(M2T4), ST(M2T), ST(M2T4), K₃(M2T), K₃(M2T4), TS(M2T), e em TS(M2T4).

(b) (T*) e (D*) são válidos em LP(M2T), LP(M2T4), ST(M2T), ST(M2T4), K₃(M2T), e K₃(M2T4), TS(M2T) e TS(M2T4).

(c) (4) é válido em LP(M24) e em ST(M24), K₃(M24) e em TS(M2T).

(d) (4*) é válido em LP(M24), LP(M2T4), ST(M24), ST(M2T4), K₃(M24), e K₃(M2T4), e em TS(M2T4).

Como podemos ver, a razão pela qual as lógicas K₃(M2T), K₃(M2T4), TS(M2T), e em TS(M2T4) possuem mais validades que suas contrapartes trivaloradas deve-se ao fato de os antecedentes dos condicionais dos princípios modais serem falsos. Daí, a fórmula vale vacuamente. No que diz respeito às lógicas TS(M2T) e TS(M2T4), elas possuem inferências válidas uma vez que fórmulas antecedidas por operadores modais não podem receber o valor ½.

Essas lógicas também possuem aplicações interessantes. Por exemplo, pode ser mostrado que os operadores ◻ e ◇ de ST(M2T4) capturam os conceitos de derivabilidade e consistência (em teorias não-aritméticas), generalizando os resultados de Skyrms (1978) e Burgess (1999) com respeito à lógica S4. Outra aplicação interessante dessas modalidades é na recuperação de inferências clássicas. Uma vez que essas modalidades atribuem somente valores clássicos às fórmulas, podemos recuperar inferências perdidas nessas lógicas dado certas hipóteses acerca das variáveis proposicionais. No que segue, apresentaremos esses resultados de recuperação:

Teorema 3.2.5. Seja Γ ⊆ For_L1(◻◇) um conjunto de fórmulas contendo um número finito de variáveis proposicionais, para L₁ ∊ {TS(M2T), K₃(M2T)}. Então para qualquer A ∊ For_L1(◻◇):

Γ |=_KT A se e somente se Γ, ◻p₁ ⋁◻¬p₁, ..., ◻p_n ⋁◻¬p_n |=_L1 A,

Onde {p₁, ..., p_n} é o conjunto de variáveis proposicionais que ocorrem em Γ ∪ {A}.

Prova. Suponha que Γ |=_KT A e que {p₁, ..., p_n} é o conjunto de variáveis proposicionais que ocorrem em Γ ∪ {A}. Por definição, para todo modelo 𝔐₂ = 〈F, M_LPC, v〉 baseado em F, para todo w ∊ W e para todo γ ∊ Γ, v_w(γ) = 1 implica v_w(A) = 1. Claramente, é o caso que v_w(p_i) ∊ {1,0}, para p_i ∊ {p₁, ..., p_n}. Agora, considerando modelos 𝔐₂ = 〈F, M_L1, v*〉, temos os seguintes casos:

(1) Para todo y ∊ W, v_y*(p_i) = 1;

(2) Para todo y ∊ W, v_y*(p_i) = 0;

(3) Para alguns u, z, x ∊ W, v_x*(p_i) = 1, v_u*(p_i) = 0 e v_z*(p_i) = ½;

(4) Para todo y ∊ W, v_y*(p_i) = ½.

Para os casos (1) e (2), v_w*(◻p_i ⋁◻¬p_i) = 1, para wRy, e assim o resultado segue porque todas as variáveis proposicionais recebem somente valores clássicos em todos os mundos em W. Os casos (3) e (4) são imediatos dado que v_w*(◻p_i ⋁◻¬p_i) = 0. Logo, Γ, ◻p₁ ⋁◻¬p₁, ..., ◻p_n ⋁◻¬p_n |=_L1 A.

Agora, suponha que Γ, ◻p₁ ⋁◻¬p₁, ..., ◻p_n ⋁◻¬p_n |=_L1 A. Então:

(A) Se L₁ = TS(M2T), então, para todo modelo 𝔐₂ = 〈F, M_TS, v*〉 baseado em F, para todo w ∊ W e para todo γ ∊ Γ, v_w*(γ) ∊ {1, ½} implica v_w*(A) = 1.

(B) Se L₁ = K₃(M2T), então, para todo modelo 𝔐₂ = 〈F, M_K3, v*〉 baseado em F, para todo w ∊ W e para todo γ ∊ Γ, v_w*(γ) = 1 implica v_w*(A) = 1.

Em ambos os casos, dada a definição de verdade para o operador modal ◻, temos os seguintes casos:

(1) Todas as variáveis p_i ∊ {p₁, ..., p_n} recebem 1 em todos os mundos y ∊ W tais que wRy.

(2) Todas as variáveis p_i ∊ {p₁, ..., p_n} recebem 0 em todos os mundos y ∊ W tais que wRy.

Já que, em ambos os casos, as variáveis recebem somente valores clássicos em todos os mundos acessíveis a w, incluindo o próprio w, temos que Γ |=_KT A. Q.E.D.

Para o caso das lógicas LP(M2T) e ST(M2T), devemos enunciar uma versão do Teorema 3.2.5 de uma forma ligeiramente, dado que uma sentença da forma ◻p pode ser verdadeira em w em casos em que p receba 1 ou ½ nos mundos y acessíveis a w. Então, enunciamos a versão do Teorema 3.2.5 para LP(M2T) e ST(M2T) como segue:

Teorema 3.2.6. Seja Γ ⊆ For _L1(◻◇) um conjunto de fórmulas contendo um número finito de variáveis proposicionais, para L₂ ∊ {LP(M2T), ST(M2T)}. Então para qualquer A ∊ For_L2(◻◇):

Γ |=_KT A se e somente se Γ, ¬◇¬p₁ ⋁¬◇¬p₁, ..., ¬◇¬p_n ⋁¬◇¬p_n |=_L2 A,

Onde {p₁, ..., p_n} é o conjunto de variáveis proposicionais que ocorrem em Γ U {A}.

A prova do Teorema 3.2.6 é análoga à prova do Teorema 3.2.5. Ambos os teoremas mostram que as modalidades bivalentes podem funcionar como conectivos de recuperação, tal como desenvolvido em (Da Costa, 1974; Marcos, 2005; Carnielli et al., 2007; Carnielli et al., 2016, 2020; Coniglio e Perón, 2014; Ciuni e Carrara, 2020; Bezerra e Venturi, 2022). Como o nome sugere, esses conectivos cumprem papel de resgatar inferências clássicas em lógicas não-clássicas na medida que se supõe que as variáveis proposicionais envolvidas recebem somente valores clássicos. As referências mencionadas neste parágrafo apresentam uma série de resultados interessantes acerca desses conectivos. O fato de as modalidades bivalentes poderem funcionar como conectivos de restauração mostra uma interessante aplicação desses sistemas modais.

Outra característica interessante desses sistemas modais é que os princípios modais validados por esses sistemas são fidedignos às inferências proposicionais (não-modais). Por exemplo, vimos que a LP não valida a regra de MP. Precisamente pela falha de MP, o Teorema 3.2.2 (a) apresenta um modelo que invalida o axioma (K). De fato, com as modalidades bivalentes, é possível mostrar que elas capturam conceitos bem definidos de tautologicidade (Bezerra e Venturi, 2022).⁵

Embora tenham aplicações muito interessantes, essas lógicas também possuem limitações conceituais. Uma vez que fórmulas precedidas por operadores modais só podem receber 1 ou 0 nos modelos 𝔐₂, fórmulas que contêm iterações de modalidades comportam-se da mesma maneira que nas lógicas modais baseadas em LPC. Por exemplo, embora

$$(◻A\bigwedge \mathrm{}◻\neg \mathrm{A})\mathrm{}\to \mathrm{}◻B$$

Não seja válida em LP(M2), a fórmula

$$(◻◻A\bigwedge \mathrm{}◻\neg ◻\mathrm{A})\mathrm{}\to \mathrm{}◻◻B$$

É válida nessa lógica. Ou seja, essas lógicas modais validam muitos princípios clássicos quando consideramos fórmulas que possuem subfórmulas contendo iterações de modalidades. Agora, em que sentido isso é um problema? A classicalidade das modalidades ◻ e ◇ impõe dificuldades a quem propõe analisar paradoxos envolvendo modalidades. Como dissemos anteriormente, sentenças autorreferenciais do tipo A ↔ ¬◻A são problemáticas em teorias aritméticas clássicas que formalizam predicados modais. Embora essas sentenças não sejam problemáticas em lógicas do tipo LP(M2T) e ST(M2T), é necessário impor restrições na formulação dessas sentenças autorreferenciais. Por exemplo, se estendermos a linguagem dessas lógicas com princípios autorreferenciais de modo que sentenças do tipo A ↔ ¬◻A sejam formuláveis, tal como é feito em (Smorynski, 1980) e (Égré, 2005), é necessário restringir A da seguinte maneira: A não possui subfórmulas contendo modalidades. Mais precisamente, considere a seguinte Definição:

Definição 3.2.7. (Smorynski, 1980) Seja L_L(◻◇) a linguagem modal de L(M). A extensão diagonal de LM, chamada de (LM)* é obtida de L ao estender L_L(◻◇) a (L_L(◻◇))* de modo que, para toda fórmula A(p, q₁ , ..., q_n), onde p ocorre no escopo de algum operador modal, existe um operador δ_A (p, q₁ , ..., q_n) tal que

(Diag) δ_A (p, q₁ , ..., q_n) ↔ A(δ_A (q₁ , ..., q_n), q₁ , ..., q_n).

Como Smorynski (1980) e Égré (2005) mostram, p ↔ ¬◻p é um caso particular do esquema (Diag). Nesse caso, estamos tratando o operador δ_A (p, q₁ , ..., q_n) como uma variável proposicional. No nosso presente caso, é necessário impor que nenhuma fórmula modal ocorra do nado esquerdo do referido esquema. Do contrário, poderíamos obter fórmulas do tipo:

$$◻p\mathrm{}\leftrightarrow \mathrm{}\neg ◻◻p$$

Uma vez que ◻p recebe somente valores clássicos, a sentença acima possui efeitos catastróficos em (LP(M2T))* e (ST(M2T))*, por exemplo. Essa restrição não é necessária no caso das lógicas modais que atribuem o valor intermediário às fórmulas modais. Ou seja, a classicalidade dos operadores modais das lógicas caracterizadas pelos modelos 𝔐₂ pode impor dificuldades em aplicações interessantes dessas lógicas.⁶ Obviamente, alguém poderia questionar se essa restrição constitui uma dificuldade de fato, uma vez que muitas das sentenças problemáticas, tal como A ↔ ¬◻A, já são bloqueadas por (LP(M2T))* e (ST(M2T))*. Dado que essa é uma discussão que transcende os propósitos desse artigo, deixá-la-emos em aberto. Nosso ponto principal foi o de mostrar que, embora modalidades bivalentes tenham aplicações interessantes, elas podem ter limitações em outras aplicações igualmente importantes.

4 Conclusão

Neste artigo, apresentamos duas maneiras distintas de caracterizar semanticamente lógicas modais multivaloradas. Ambas caracterizações possuem virtudes e problemas, de maneira que a escolha de uma delas depende diretamente do problema a ser analisado.

Embora não tenhamos nos ocupado de sistemas dedutivos para essas lógicas, pensamos que é perfeitamente possível apresentar sistemas dedutivos para elas. As lógicas proposicionais aqui analisadas são comumente apresentadas via cálculo de sequentes. No que diz respeito às lógicas LP e K₃, encontramos sistemas de sequentes para ambas em (Beall, 2013). Já no que diz respeito às lógicas TS e ST, encontramos tais sistemas dedutivos em (Murzi e Rossi 2021) e (Ripley, 2013), respectivamente. No caso das lógicas L(M3), pensamos que as extensões usuais com as regras modais para sequentes (Negri, 2011) é suficiente para obter sistemas corretos e completos para as referidas lógicas. Já no caso das lógicas L(M2), pensamos que é preciso adotar sequentes de três lados (Baaz et al., 1993a, 1993b, 1994), pois as modalidades bivalentes demandam uma distinção mais fina no sistema de prova, dado que elas possuem comportamento clássico. Uma outra possibilidade é apresentar sistemas de tablôs rotulados para essas lógicas. Bezerra (2021) estende os tablôs rotulados para lógicas multivaloradas (Carnielli, 1987) para o caso modal. Em (Bezerra, 2021) encontramos tablôs para as lógicas modais baseadas em LP, K₃, e ST. A extensão desses tablôs para as lógicas apresentadas neste trabalho é direta. Além disso, permite traçar relações com cálculos de sequentes de três lados para lógicas modais.⁷

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• 1
  Como observam Coniglio & Peron (2014), o resultado de Dugundji possui limitações, uma vez que existe uma lista considerável de lógicas modais que estão fora do escopo do resultado original de Dugundji. Além disso, eles estendem o resultado original, mostrando que o resultado vale também para uma lista de lógicas modais normais, com os operadores modais ◻ e ◇, e uma lista de lógicas modais cuja lógica proposicional de base difere da lógica proposicional clássica.
• 2
  Abreviação de Quod Erat Demonstrandum.
• 3
  Esses resultados de inconsistência envolvendo predicados modais na linguagem aritmética foram originalmente demonstrados por Montague (1956) e Myhill (1960).
• 4
  Claramente, isso não quer dizer que essas lógicas são inviáveis conceitualmente. Como Priest (2008) mostra, modalidades que recebem valores intermediários podem ter aplicações filosóficas interessantes. Nosso ponto nesse artigo foi o de apontar que, para as lógicas LP(M3) e ST(M3), a interpretação trivalorada das modalidades é problemática. Algumas dessas lógicas são analisadas no contexto de teorias não-clássicas da verdade (Stern e Nicolai, 2021).
• 5
  No caso do conceito de tautologicidade, é mostrado que as lógicas modais são consideravelmente fracas (Pietruszczak, 2012). São sublógicas do sistema modal S0.5 (Lemmon, 1952, 1957).
• 6
  Algo similar ocorre com algumas soluções paraconsistentes (não-modais) dos paradoxos semânticos. Barrio et al. (2017) mostram que é possível bloquear paradoxos semânticos utilizando lógicas paraconsistentes que possuem em sua linguagem conectivos de restauração. Eles mostram que é possível bloquear os paradoxos semânticos na medida que todos os enunciados autorreferenciais sejam instância de um esquema muito similar a (Diag). A chave da estratégia de (Barrio et al., 2017) é utilizar um bicondicional fraco o suficiente para bloquear a possibilidade de trivialização da teoria. Por outro lado, Rosenblatt (2021) argumenta que essa estratégia incorre em certas arbitrariedades, uma vez que enunciados autorreferenciais podem também ser formulados com símbolo de identidade ‘=’ que, por sua vez é incompatível com a proposta de Barrio et al. O problema é que nenhuma razão filosófica é oferecida para formular enunciados autorreferenciais com o bicondicional ao invés da identidade.
• 7
  O autor agradece o apoio financeiro de Agencia Nacional de Promoción de la Investigacion, el Desarolllo Tecnológico y la Innovación (Agencia I + D + I, MinCyT).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  30 Set 2024
• Data do Fascículo
  2024

Histórico

• Recebido
  19 Jul 2023
• Aceito
  30 Abr 2024