Seguro de vida em grupo

ARTIGOS

Seguro de vida em grupo

Edmundo Êboli Bonini

Professor-contratado do Departamento de Métodos Quantitativos da Escola de Administração de Empresas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas e das Faculdades: F.E.A.U.S.P.; E.E.M.; F.C.E.S.L.; F.C.E.S.P.; F.M.U.; F.C.E.A.D.D. Pedro II; E.H.C.F.A.A.P

O seguro é hoje em dia uma das mais importantes instituições e de máxima influência para a sociedade. Seu objetivo primordial é facilitar a tarefa de previdência, mediante a reunião de muitas pessoas, concorrendo todas para a massa comum, a fim de que esta possa suprir, em determinado momento, as necessidades eventuais de algumas daquelas pessoas.

As características básicas do seguro são: previdência, incerteza e "a reunião de um grande número de riscos homogêneos que permite estabelecer o equilíbrio aproximado entre as prestações dos segurados e as contraprestações do segurador".

Dentre as definições encontradas de autores célebres como Manes, Chauton e Hemard, temos a de Hemard que é mais completa e abarca todos os elementos indispensáveis à institui¬ção do seguro: "uma operação pela qual, mediante o pagamento de uma pequena remuneração, uma pessoa, o segurado, promete para si próprio ou para outrem, no caso de um determinado evento, a que se dá o nome de risco, uma prestação de uma terceira pessoa, o segurador, que, assumindo um conjunto de riscos, os compensa de acordo com as leis da estatística e o princípio do mutualismo".

Vejamos porque a definição de Hemard apresenta todos os elementos indispensáveis para a instituição do seguro:

Sinistro - é o risco ocorrido.

Segurador - é a pessoa que assume a responsabilidade do risco.

Segurado - é a pessoa em relação a quem se assume a responsabilidade do risco.

Prêmio - é a remuneração que o segurado paga ao segurador para que este assuma a responsabilidade do risco.

Os seguros podem ser classificados em dois grandes grupos: de coisas e de pessoas. No de coisas estão enquadrados os ramos de incêndio, transportes, etc, e no de pessoas, os seguros dos ramos: vida, acidentes pessoais, invalidez, enfermidade, etc. O primeiro grupo denomina-se seguros de ramos elementares, e o segundo, seguros de vida.

Chama-se seguro de vida aquele em que a duração da vida humana serve de base para o cálculo do prêmio devido ao segurador, para que este se obrigue a pagar ao beneficiário do seguro um capital ou uma renda determinados, por morte do segurado ou caso este sobreviver a um prazo convencionado.

O contrato de seguro de vida é dos mais recentes. Durante muito tempo foi considerado como uma especulação imoral e, por isso, proibida a sua prática. O nosso Código Comercial, que é de 1850, proibia (art. 686, 2) e fulminava de nulidade absoluta (art. 6.774) o seguro de vida de pessoa livre; permitia-o tão-sòmente sobre a vida dos escravos, porque estes sendo objeto de propriedade, não eram considerados pessoas e sim coisas.

Foi só nas últimas décadas do século XIX que esse seguro começou a desenvolver-se entre nós até ser expressamente consagrado pelo Código Civil (art. 1.440 e 1.471 a 1.476).

Como todo seguro, também o seguro de vida se baseia no mutualismo e no cálculo das probabilidades que nessa espécie de seguros é feito, com o auxílio das chamadas "tábuas de mortalidade ou de sobrevivência". Suponhamos que mil indivíduos da mesma idade, gozando saúde normal, contraem, na mesma época, um seguro, em caso de morte, pelo mesmo capital. As tábuas de mortalidade permitirão calcular quantos desses indivíduos morrerão provavelmente no primeiro ano, quantos no segundo, e assim sucessivamente até a morte do último deles.

De acordo com esses dados, o segurador sabe, de antemão e com um certo grau de precisão, quanto deverá despender em cada um daqueles anos com o pagamento dos capitais estipulados para os mil segurados.

Sabe também que o risco de morte irá crescendo de ano para ano, à medida que os referidos segurados forem envelhecendo, porque, a não ser no período infantil, quanto mais velho é o indivíduo, tanto maior é a probabilidade da sua morte.

Quanto ao número de pessoas seguradas, as apólices de seguro de vida podem ser: seguro individual, seguro em conjunto sobre duas ou mais vidas, seguro temporário de pequenos grupos reunidos (baby-group) e seguro temporário em grupo.

Seguro de vida individual: é feito e calculado para uma única pessoa. Apresenta as seguintes modalidades: seguro para o caso de morte, seguro para o caso de sobrevivência, seguro misto, que é uma combinação dos dois anteriores, e seguro a termo fixo, aquele em que a seguradora se compromete a pagar um capital ou uma renda no término de um prazo prefixado, cessando o pagamento dos prêmios periódicos com a morte do segurado. Se ocorrer a morte do segurado antes do prazo estabelecido, a importância devida pela seguradora só será paga no final daquele prazo.

Seguro de vida em conjunto para duas ou mais vidas: a cobertura deste seguro abrange mais de uma vida com uma só apólice, para garantir o pagamento de um capital ou de uma renda. O valor do prêmio a ser pago pelo conjunto de segurados depende da idade de cada um e das probabilidades de morte ou de sobrevivência dos mesmos. Comumente esse contrato é utilizado para segurar marido e mulher ou sócios de firmas comerciais, podendo ser indicado, neste caso, como beneficiário, a pessoa jurídica. As principais modalidades são: 1. seguro para caso de morte - a importância segurada será paga, logo após o falecimento de um dos segurados, ao sobrevivente; a importância segurada só será paga aos beneficiários, quando ocorrer o falecimento do último segurado sobrevivente; 2. seguro para casos de sobrevivência - a importância segurada será paga ao término do período de tempo estipulado, se todos os segurados estiverem com vida; a importância segurada será paga a todos os sobreviventes do grupo no término do deferimento.

Seguro de vida temporário de pequenos grupos agregados (babygroups): destina-se a segurar empregados de pequenas firmas ou entidades que tenham no máximo 50 empregados e no mínimo 7, extensivo aos dirigentes desde que estes tenham atividades regulares na firma ou entidade. Estes grupos segurados são agrupados de acordo com a afinidade de atividade, formando assim um grupo maior, que nunca poderá ser inferior a 200 vidas, para fins de aceitação, e 150 vidas, para fins de manutenção.

Seguro de vida temporário em grupo: destina-se a segurar os empregados (e suas esposas) de estabelecimentos comerciais, industriais e associados de entidades recreativas, culturais e representativas de categorias profissionais, por meio de uma única apólice denominada mestra, emitida em nome do empregador, ou associação, que é estipulante do seguro. Cada segurado, por sua vez, receberá um documento chamado certificado de seguro em grupo, no qual são registrados, além do nome do segurado, a importância do risco individual e um extrato das condições de apólice. Este seguro é feito por um ano, sendo reajustado no aniversário da apólice em virtude do envelhecimento do grupo segurado. O seguro de vida em grupo caracteriza-se pela duração anual do risco e estabelecimento de um prêmio médio para todos os componentes do grupo.

2. Metodologia

A matemática financeira estuda os capitais no sentido certo, sendo que a matemática atuarial estuda no sentido aleatório; poderíamos dizer que a matemática financeira constitui um caso particular da matemática atuarial, em que a probabilidade de ocorrer um certo evento é igual a 1.

G. Low, atuário escocês, disse que "o seguro sobre a vida considerado como um negócio está alicerçado sobre o princípio de que o número de mortes que pode ocorrer, em um grupo suficientemente numeroso de pessoas, não é inteiramente arbitrário, sendo que está relacionado a leis de médias, cuja grande uniformidade e exatidão permite estabelecer bases de cálculo sobre as quais podem arriscar, sem temor, os seguradores, seus capitais e os segurados, o porvir daqueles por quem deve zelar".

De acordo com esse princípio foram criadas as Tábuas de Mortalidade ou Sobrevivência. Tais tábuas partem de um grupo inicial de pessoas e mostram o comportamento desse grupo ao longo dos anos. As tábuas permitem às companhias de seguro fixar as taxas de contribuição para seus clientes. Existem diversas tábuas de mortalidade. Dentre elas podemos citar:

Tábua H^M de 1869,

Tábua das Companhias Alemãs, de 1883,

Tábua Italiana (M), de 1901

Tábua de Mortalidade Hunter's Semitropical,

Tábua de Mortalidade C. S.O. , de 1941,

Experiência Brasileira do Dr. Gastão Quartlum P. de Moura e Tábua de Mortalidade American Experiences, sendo que esta última se encontra tabelada em nosso ^{Anexo 1}.

George King define a tábua de mortalidade como sendo "o instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e morte".

Em 1898, o Segundo Congresso Internacional de Atuários, realizado em Londres, apresentou um trabalho publicado sob o título de Notação Universal, que estabelece a simbologia a ser adotada na matemática atuarial. Asim, as tábuas de mortalidade apresentam os seguintes símbolos:

x = idade

l_x, = número de pessoas que, pela tábua de mortalidade, atinge exatamente a idade x no prazo de um ano (l corresponde à letra inicial da palavra inglesa living). Assim, por exemplo, em nosso ^{Anexo 1}, temos que a idade inicial é 10 anos, isto é, l₁₀ = 100.000. Dêsse grupo, 99.251 pessoas atingem a idade de 11 anos, pois 749 faleceram entre as idades de 10 e 11 anos.

d_x = número de pessoas que representa o número de mortes numa determinada idade. Assim, por exemplo, de 11 para 12 anos desaparecem 746 das 99.251 e sobrevivem 98.505; temos então d₁₁ = 746 e l₁₂ = 98.505 e assim sucessivamente até chegarmos a idade w (idade extrema) da tábua, que é 95 anos. Nesta idade,

temos l_w = 3 e d_w = 3; isto quer dizer que nenhum dos três sobreviventes da idade de 95 anos alcançou a idade de 96 anos. Do exemplo acima, temos que: d_x= l_x - l_x+1.

p_x = probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver um ano, também denominada taxa de sobrevivência

p_x = ; exemplo: com auxílio do ^{Anexo 1}, qual a taxa de sobrevivência de uma pessoa de 45 anos?

p₄₅ = 0,98884 (o que pode ser constatado na propria tábua).

q_x = as taxas de mortalidade e de sobrevivência são complementares; estão p_x + q_x = 1 ou seja: q_x = 1 - p _x, sendo que os valores de q_x também estão em nosso ^{Anexo 1}.

_np_x = probabilidade de uma pessoa de idade x estar viva daqui a n anos.

Exemplo: a probabilidade de uma pessoa de 40 anos chegar aos 50 será:

Entre outras funções biométricas e extensões relativas a uma vida, temos:

_nq_x = probabilidade de uma pessoa sobreviver ou morrer em n anos é 1. Então:

/_nq_x +_np_x = 1 = /_nq_x = 1 -_np_x

m/n q_x - probabilidade de uma pessoa de idade x morrer entre as idades de x + m e x + m + m.

m/n q_x - _mp_x . /n q_x+mmp_x (1 _np_x+m)

_nE_x =capital diferido ou total puro; consiste numa obrigação, por parte da sociedade, de pagar um capital à pessoa segurada, se esta sobreviver a um período determinado, desde que pague o prêmio devido à seguradora. E é a inicial da palavra inglesa endowment (dotação)._xE_n é o prêmio puro a ser pago por uma pessoa de idade x, a fim de ter o direito de receber o capital de 1 cruzeiro dentro de n anos, caso esteja viva. O valor do prêmio puro é feito aplicando-se o princípio euleriano, que se baseia na seguinte propriedade: "o valor atual do compromisso dos segurados é igual ao valor atual do compromisso do segurador".

Cada uma das pessoas do grupo l_x, todas de idade x, se compromete a pagar, de uma só vez, ao segurador o prêmio _nE_x, e a importância total a ser paga pelos l_x pessoas é_nE_x. l_x, que representa o valor atual do compromisso dos segurados.

Por sua vez, o segurador se compromete a pagar 1 cruzeiro a cada uma das pessoas sobreviventes de x quando as mesmas tiverem (x + n) anos. O capital a ser pago é igual ao produto de 1 cruzeiro pelo número de sobreviventes l_x+n e o valor atual desse compromisso é:

Vⁿl_x+n, onde Vⁿ = (l_+i)^-n que corresponde ao valor atual de um capital vencível daqui a n anos, considerando-se a capitalização composta e a taxa de juros i.

Aplicando o princípio euleriano:

Onde D_x = V^x l_x (^{Anexo 2}) e onde A (inicial da palavra inglesa assurance) é sempre empregado para representar prêmio único dos seguros de capital.

O n sob o sinal especial ângulo reto indica duração; o número 1 sob o n denota que o capital de 1 cruzeiro só será pago, se a pessoa de idade x sobreviver n anos. Exemplo: quer-se assegurar para uma pessoa de 30 anos um capital de Cr$ 100.000,00 no caso dela atingir a idade de 45 anos. Qual o prêmio único puro do seguro?

A = C₁₅E₃₀ = 100.000,00 .

A = 100.000,00 X x 48.203,56

ä_x = renda vitalícia imediata antecipada.

Em matemática financeira, renda é uma sucessão de capitais vencíveis em diferentes épocas; no caso, uma pessoa de idade x deve pagar o prêmio único para, em troca, começar a receber imediatamente, desde o início do contrato, 1 cruzeiro de ano em ano, de semestre em semestre, etc, renda essa devida pela seguradora até a extinção da vida segurada. Então, este caso constituiu uma extensão de _nE_x; portanto:

ä_x = _oE_x + ₁E_x + ₂E_x + ...

ä_x = Vºp_x + Vp_x + V²₂p_z + ...

ä_x = 1 + v + ...

multiplicando o segundo membro de igualdade acima por

teremos;

Então, se tivéssemos que calcular o valor de ä_x, para cada x, deveríamos desenvolver todo o segundo membro. Coube a J. Titens, em 1785, na Alemanha, a ventura de dar ao ramo vida um grande melhoramento, ao mostrar que qualquer que fosse a lei de sobrevivência adotada seria possível com auxílio de seis tabelas apenas e sob determinada taxa de juros, calcular rapidamente os prêmios puros de todos os planos de seguros sob uma vida. As tabelas por êle construídas são hoje denominadas Tabelas de Comutação. Os principais símbolos são D_x, N_x, S_x, C_x M_x, R_x onde x = idade (ver ^{Anexo 2}).

Iremos apenas analisar os símbolos D_x, N_x M_x, uma vez que utilizaremos somente estes no presente trabalho.

Sejam as séries:

1₀, 1₁, 1₃, 1₃, ..........., 1_x, 1_x+1, 1_x+2, ....1_u

1, v, v², v³ ..........., v^x, v^x+1, v^x+2, .... v^u

Multiplicando os correspondentes valores da segunda série pela primeira teremos os números de comutação D_x, sendo D_x = l_x v^x.

Há dois critérios para a determinação do número de comutação N_x:

critério Davies: N_x = D_x+1 + D_x+2 + .... =

critério Barret: N_x = D_x+0 + D_x+1 + .... =

Utilizaremos o critério Barret; então ä será dado por:

ä =

Exemplo: qual o prêmio único que deverá pagar uma pessoa de 30 anos de idade a fim de que receba uma renda anual de Cr$ 1.000,00 no começo de cada ano até a sua morte?

A = Cä, = 1.000,00. = 1.000,00.

A = 1.000,00 X 18,29063 = 18.290,63

Sejam as séries:

d₀, d, d₂, d₃, ......., d_x, d_x+1, d_x+2..... d^u

v, v², v³,v⁴, ........., v^x, v^x+1, v^x+2, ....., v^u

Multiplicando os correspondentes valores da segunda série pela primeira, teremos os números de comutação C_x, sendo C_x = d_xv^x+1 .

O número de comutação M_x = C_x+0 + C_x+i + C_x+2 + C_x+3 ... Genèricamente M_x =

A_x = o valor atual do seguro de vida inteira ou prêmio único puro do referido seguro. Admitimos que l_x pessoas façam um contato com uma companhia seguradora para ficarem segurados pelo plano "vida inteira". A seguradora se compromete a pagar a cada um dos beneficiários dos segurados falecidos um cruzeiro de importância segurada. Assim, durante o primeiro ano de contrato, isto é, entre as idades x e x + l, falecem d_x pessoas; serão pagos d_x cruzeiros de benefícios, porém, como esta importância total só será paga no fim do ano, o valor atual será:

No segundo ano falecem d_x+1 pessoas e serão pagos d_x+1 cruzeiros, sendo o valor atual dessa importância total: v²d_x+1 e assim sucessivamente. Então o compromisso da seguradora será:

vd_x + v²d_x+1 + v³d_x+2 + ...

Sendo l_x o número de pessoas seguradas e como uma delas pagará o prêmio único A_x, concluímos que o compromisso dessas pessoas nesse contrato é: 1_xA_x

Aplicando o princípio euleriano, temos:

1_xA_x = vd_x + v²d_x+1 + v³d_x+2 + ...

Ax =

Multiplicando por

o segundo membro de igualdade acima, teremos:

Exemplo: qual o prêmio único correspondente a um seguro de vida inteira de Cr$ 1.000,00, relativa à vida de uma pessoa de 30 anos?

A = C. A_x 1.000,00. = = 1.000,00

A = 1.000,00 = 0,296514 = 296,51

P_ä= prêmio puro anual de qualquer seguro. P é o inicial da palavra inglesa premium. A determinação deste prêmio é relativamente fácil; é como se se tratasse de um seguro de renda antecipada (vitalícia ou temporária), no qual o beneficiário é o segurador e o segurado é quem pagará a renda. O pagamento dos prêmios anuais é feito antecipadamente. Generalizando a operação, chamemos de A o prêmio único puro de seguro, ou o débito total do segurado para com o segurador; de P, a quota anual ou prêmio anual cuja soma dos valores atuais de cada uma dessas prestações se torna igual ao prêmio único do seguro. A operação consiste em achar o valor atual das prestações anuais, sendo cada uma igual a P. Assim, se a quota anual é l, a soma dos valores atuais dessas prestações será ä, uma vez que essas quotas são sempre pagas antecipadamente. Se a referida prestação, em vez de l, fôr P, o valor atual da mesma será: Pä. Este valor, conforme dissemos anteriormente, deve ser igual ao prêmio único; logo:

Pä = A

Baseado nesta fórmula generalizada, podemos encontrar o prêmio anual de qualquer seguro. Quando os prêmios são pagos anualmente e por toda a vida da pessoa segurada, o plano toma o nome de vida inteira a prêmios vitalícios ou mais comumente Ordinário de Vida. O seguro Ordinário de Vida é representado por P_x, sendo o prêmio pago anualmente e por toda a vida da pessoa segurada, o valor atual de todas as prestações, iguais cada uma e P_x, é: P_xä_x e este produto é igual ao prêmio puro único do seguro, logo:

Exemplo: qual o prêmio anual vitalício de uma pessoa de 30 anos de um seguro ordinário de vida de Cr$ 1.000,00?

P = CP_x,= 1.000,00 = 1.000,00

P = 1.000,00 X 0,016211 = 16,21

A^e1_x= valor atual do capital unitário, pagável no fim do ano, pela mudança de estado.

A^e1_xv q^e_x = probabilidade de mudança de estado de uma pessoa de idade x.

x+i _d

A^e1_xv q^e_x = v , como v^x+1d_x = C_x e v^x1_x = D_x, temos:

P_x - prêmios comerciais ou de tarifa. Os prêmios puros também denominados prêmios líquidos ou prêmios matemáticos são os que se destinam unicamente a fazer face aos compromissos do segurador para com os beneficiários. O prêmio comercial ou de tarifa é igual ao prêmio puro mais o carregamento. Dentre as várias espécies de carregamento, as principais são:

a) carregamento para cobrir despesas gerais

b) carregamento de segurabilidade

d) carregamento para constituir lucros.

Então:

onde P"_x = prêmio comercial básico para idade x (fórmula Δ)C_x = capitais segurados da idade x

Pm'' = (C_seguradoX P"m)

3. Exemplo Prático

Seja um grupo de funcionários da Cia.A com as seguintes informações:

Colocando os salários mensais em intervalos de classe de Cr$ 250,00 e considerando o capital segurado em caso de morte de 10 vezes o limite superior do intervalo de classe, teremos:

Em função dos Quadros 1 e 2, teremos:

Em função do nosso ^{Anexo 2}, poderemos calcular o prêmio puro (fórmula B) e o prêmio comercial ou de tarifa (fórmula γ). sendo γ = 0,0015 ou 1,5%.

Em função do Quadro 3 e do Quadro 4 podemos determinar o prêmio anual (CAPITAL SEGURADO X PRÊMIO COMERCIAL) e o Prêmio Médio do Grupo (Fórmula^Δ).

Em função do Prêmio Médio do Grupo P_m elaboramos o quadro abaixo que consta o Prêmio Mensal (fórmula ^u).

Bibliografia

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VILANOVA, Wilson. Matemática Atuarial. São Paulo, Livraria Pioneira Editora, 1969.

Anexo 1

Anexo 2

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Maio 2015
• Data do Fascículo
  Dez 1970