Uma nota sobre continuidade de relações de preferência definidas em conjuntos discretos

Resumo

Esta nota discute a continuidade de relações de preferência definidas em conjuntos discretos, relacionando-a com o conceito de continuidade de funções (e, mais geralmente, de correspondências). A propriedade de relatividade do conceito de conjunto aberto se revela peça fundamental nesta discussão e, com isso, sua importância para a Teoria Econômica é reforçada de forma transparente.

Classificação JEL. D01, D11, C65.

Palavras-chave
Continuidade; Relação de preferência; Conjunto aberto relativo; Correspondência

1. Introdução

Dentre os instrumentos matemáticos empregados pela Teoria Econômica para modelar escolha dos agentes (pessoas, governos, firmas etc...), o conceito de relação de preferência é um dos mais fundamentais¹. Em grandes linhas, uma relação de preferência ≿ é empregada pela Teoria Econômica para modelar a forma que um agente classifica cada par de alternativas a e b presentes em um dado conjunto de alternativas A. Concretamente, quando o agente classifica a alternativa $a\in A$ como tão boa quanto a alternativa $b\in A$, a relação de preferência ≿ é definida de forma que $a\succsim b$. A escolha deste agente, restrita às alternativas presentes em A, é suposta pela Teoria Econômica como determinada pela forma que este agente classifica pares de alternativas em A. Ou seja, determinada pela relação de preferência ≿ sobre A.

Matematicamente, a relação de preferência ≿ é uma relação binária de A em si mesmo, ou seja, ≿ é um subconjunto de $A\times A$. Dentre as propriedades matemáticas frequentemente demandadas de ≿ pela Teoria Econômica ao modelar as escolhas dos agentes, a continuidade de ≿ é um dos principais ingredientes que caracterizam preferências bem comportadas²

Este trabalho discute a continuidade de relações de preferência $\succsim \subseteq A\times A$ no contexto em que o conjunto de alternativas A é um subconjunto discreto do ℝⁿ . Conforme elaborado na , a continuidade de ≿ é consequência direta de A ser um conjunto discreto (cada ponto de A é ponto isolado de A ). Na , a semelhança entre continuidade de preferências em conjuntos discretos e continuidade de funções em pontos isolados de seu domínio é explorada no contexto de continuidade de correspondências. Após registrar que também são contínuas as correspondências definidas em domínio discreto, destaca-se que o gráfico de toda correspondência define uma relação binária. Ainda, quando domínio e contradomínio desta correspondência são iguais, tal relação binária é uma relação de preferência. Este ponto é explorado em seguida demonstrando-se um sentido sob o qual a continuidade da referida correspondência implica continuidade da relação de preferência definida pelo seu gráfico.

A discussão apresentada nesta nota chama a atenção para o fato de que continuidade em conjuntos discretos é trivialmente verdadeira, tanto continuidade de relações de preferência quanto continuidade de funções (e, mais geralmente, continuidade de correspondências)³. Ainda, fica claro que a propriedade de relatividade do conceito de conjunto aberto é peça fundamental nesta discussão, uma vez que sua combinação com pontos isolados é o argumento central para estabelecer os resultados de continuidade reunidos nesta nota⁴.

2. Continuidade de relações de preferência

Sejam L , M e N números naturais, $A\subseteq {ℝ}^L$, $D\subseteq {ℝ}^M$, $C\subseteq {ℝ}^N$ e $R\subseteq D\times C$ uma relação binária de D em C . O conjunto D é o domínio de R e C é o contradomínio de R . Se $D=C$, diz-se que R é relação binária em D . Diz-se que d é relacionado com c segundo R quando $\left(d,c\right)\in R$, o que é mais comumente denotado em Economia Matemática por $dRc$. Conforme antecipado na introdução, ≿ é relação de preferência sobre A se ≿ é uma relação binária em A . Nesta seção, suponha $D=C=A$, de forma que $R\subseteq A\times A$ é uma relação de preferência em A.

Definição 1. R é contínua se, para cada $b\in A$, os conjuntos $S_b\equiv \{a\in A|aRb\}$ e $I_b\equiv \{a\in A|bRa\}$ são ambos fechados em A.

2.1 Continuidade de $R\subseteq A\times A$ quando $A$ é discreto

Suponha nesta subseção que A é um conjunto discreto, ou seja, que todo $a\in A$ é ponto isolado de A . Assim, por definição de ponto isolado, $a\in A$ garante que existe $\epsilon >0$ tal que $B_{\epsilon }\left(a\right)\cap A=\left\{a\right\}$, em que $B_{\epsilon }\left(a\right)\equiv \{x\in {ℝ}^L:\parallel x-a\parallel <\epsilon \}$. A continuidade de R quando A é discreto é consequência direta do fato de que subconjuntos de um conjunto discreto sempre são fechados neste conjunto, conforme estabelecido no Lema 1.

Lema 1. Se $E\subseteq A$, então E é aberto em A e também fechado em A.

Demonstração. Note inicialmente que, para cada $a\in A$, $E=\left\{a\right\}$ é aberto em A , ou equivalentemente, $\forall e\in E\exists \epsilon >0\left(B_{\epsilon }\left(e\right)\cap A\subseteq E\right)$. De fato, para $e\in E=\left\{a\right\}$ arbitrário, basta verificar que $\exists \epsilon >0\left(B_{\epsilon }\left(a\right)\cap A\subseteq \left\{a\right\}\right)$, já que neste caso $e=a$. Usando que A é discreto, tem-se que $e=a\in A$ é ponto isolado de A . Usando este fato, seja ${\epsilon }_1>0$ tal que $B_{{\epsilon }_1}\left(a\right)\cap A=\left\{a\right\}\subseteq \left\{a\right\}$.

Agora note que todo $E\subseteq A$ pode ser escrito como $E={\cup }_{e\in E}\left\{e\right\}$, ou seja, como uma união de abertos em A . Com isso, obtém-se que E é aberto em A . Para obter que todo $E\subseteq A$ é fechado em A , basta notar que seu complemento em A , dado por $A\backslash E$, é subconjunto de A . Assim, $A\backslash E$ é aberto. ◻

Proposição 1. A relação de preferência $R\subseteq A\times A$ é contínua.

Demonstração. Para $y\in A$ arbitrário, tem-se $S_y=\{x\in A|xRy\}$ e $I_y=\{x\in A|yRx\}$. Para obter que S_y e I_y são ambos fechados em A , basta notar que $S_y\subseteq A$, $I_y\subseteq A$ e A é discreto. O resultado segue então do . ◻

continuidade de funções em pontos isolados do seu domínio apresentada no Lema 2.

Lema 2. Uma dada função $f:D\to C$ é contínua em todo ponto isolado de D.

Demonstração. Cabe lembrar que f é contínua em $d\in D$ se

(1) $$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall y\in D\left(y\in B_{\delta }\left(d\right)\Rightarrow f\left(y\right)\in B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]\right).$$

Seja $d\in D$ um ponto isolado de D e tome $\epsilon >0$ arbitrário. Usando que d é ponto isolado de D seja $\delta >0$ tal que $B_{\delta }\left(d\right)\cap D=\left\{d\right\}$. Resta provar que $\forall y\in D\left(y\in B_{\delta }\left(d\right)\Rightarrow f\left(y\right)\in B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]\right)$. Para tal, tome $y\in D$ e suponha que $y\in B_{\delta }\left(d\right)$. Então, $y=d$ decorre de $y\in B_{\delta }\left(d\right)\cap D=\left\{d\right\}$. Agora, usando que $y=d$ e $f\left(d\right)\in B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]$, conclui-se que $f\left(y\right)\in B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]$. ◻

A semelhança entre o resultado da Proposição 1 e Lema 2 o torna-se ainda mais concreta ao comparar o conceito de continuidade de preferência, apresentada na Definição, e a caracterização de continuidade global de funções estabelecida no . Conclui-se que uma função f com domínio D discreto é contínua (pelo Lema 2) e, por isso, possui pré-imagens de fechados fechadas em D (pelo Lema 3). Por outro lado, a relação de preferência R é contínua em A discreto, pois possui conjuntos de contorno S_a e I_a fechados em A.

Lema 3. Para $f:D\to C$ e cada $V\subseteq C$, denote por $f^{-1}\left(V\right)=\{d\in D|f\left(d\right)\in V\}$ a pré-imagem (ou imagem inversa) de V . São equivalentes:

1. f é contínua em D..

2. Para todo $V\subseteq C$ aberto em C, tem-se $f^{-1}\left(V\right)$ é aberto em D.

3. Para todo $V\subseteq C$ fechado em C, tem-se $f^{-1}\left(V\right)$ é fechado em D.

Demonstração. Ver, por exemplo, o Teorema apresentado por Berge (1963), na página 57 . ◻

2.1.1 Uma ilustração

A fim de explorar em mais detalhes a propriedade discreta do conjunto A , especial interesse é dedicado a uma relação de preferência cuja continuidade foi explorada em um recente exame de Teoria Microeconômica realizado por candidatos a ingresso em programas de pós-graduação no Brasil. Neste contexto, definiu-se no conjunto $X\equiv {\cup }_{n=1}^{\infty }\left\{1-1/n\right\}=\left\{0,1/2,2/3,3/4,\cdots \right\}$ a relação de preferência ≽ de forma que, para cada par de pontos x e y em X , tem-se $x\succcurlyeq y$ se, e somente se, $\left|x-1/2\right|\ge \left|y-1/2\right|$. Ou seja,⁵

(2) $$\forall x\in X\forall y\in X\left(x\succcurlyeq y\iff \left|x-\frac{1}{2}\right|\ge \left|y-\frac{1}{2}\right|\right)$$

Proposição 2. A relação de preferência ≽ é contínua.

A Proposição 1 garante que ≽ é contínua se $A=X$ e X é discreto. O a seguir, por sua vez, implica que todo ponto de X é ponto isolado de X e, por isso, X é um conjunto discreto.

Lema 4. Para cada $x\in X$ e $\epsilon \in ℝ$, se $n\in \mathbb{N}$ é tal que $x=1-1/n$ e $\epsilon =\frac{1}{2}\left(\frac{n}{n+1}-x\right)>0$, então $B_{\epsilon }\left(x\right)\cap X=\left\{x\right\}$.

Demonstração. Tome $x\in X$ e $\epsilon \in ℝ$ arbitrários. Tome $n\in \mathbb{N}$ e suponha que $x=1-1/n$ e $\epsilon =\frac{1}{2}\left(\frac{n}{n+1}-x\right)$. Então, $\epsilon =\frac{1}{2n\left(n+1\right)}>0$. Como $x\in X$ e $x\in B_{\epsilon }\left(x\right)$, então $\left\{x\right\}\subseteq B_{\epsilon }\left(x\right)\cap X$. Para obter $B_{\epsilon }\left(x\right)\cap X\subseteq \left\{x\right\}$, tome $z\in B_{\epsilon }\left(x\right)\cap X$ arbitrário. Resta provar que $z=x$. Usando que $z\in X\equiv {\cup }_{m=1}^{\infty }\left\{1-1/m\right\}$, seja $m\in \mathbb{N}$ tal que $z=1-1/m$. Como $z\in B_{\epsilon }\left(x\right)=\left(x-\epsilon ,x+\epsilon \right)$, então $x-\epsilon <z<x+\epsilon$. Afirma-se que $n-1<m<n+1$, o que implica $m=n$ a partir de $m\in \mathbb{N}$. De fato, $m<n+1$ pode ser obtido a partir de $1-\frac{1}{m}=z<x+\epsilon =\frac{1}{2}\left(\frac{n}{n+1}+x\right)=1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)<1-\frac{1}{n+1}$ e $m>n-1$ é justificado por $1-\frac{1}{m}=z>x-\epsilon =x-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}>\left(1-\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{2n\left(n-1\right)}=1-\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2\left(n-1\right)}\right)=1-\frac{1}{n-1}\frac{2n-1}{2n}>1-\frac{1}{n-1}$ quando $n>1$ e por $m\in \mathbb{N}$ quando $n=1$. ◻

3. Continuidade de Correspondências

A semelhança entre o conceito de continuidade de relações de preferência e o conceito de continuidade global de funções, discutida na Seção 2, é explorada nesta seção no contexto mais geral de continuidade de correspondências. As definições a seguir foram extraídas de Ok (2007).

Definição 2. Seja $2^C$ o conjunto de todos os subconjuntos de C (ou seja, $2^C\equiv \left\{x\right|x\subseteq C\}$) e defina $\mathcal{P}\left(C\right)=2^C\backslash \left\{\varnothing \right\}$. A função $\Gamma :D\to \mathcal{P}\left(C\right)$ é dita ser uma correspondência de D em C , o que tipicamente é denotado por $\Gamma :D\rightrightarrows C$.

Comentário 1. A relevância deste conceito para os propósitos deste trabalho se torna evidente ao notar que funções de D em C e relações de preferência definidas em $A=D=C$ são, em certo sentido, casos particulares de correspondências $\Gamma :D\rightrightarrows C$. De fato, toda função $R:D\to C$ é uma relação binária $R\subseteq D\times C$ que relaciona um, e somente um, $c\in C$ a cada $d\in D$. Também já foi definido que relações de preferência ≿ sobre um conjunto A é uma relação binária em A , ou seja, $\succsim \subseteq A\times A$. Ainda, toda correspondência $\Gamma :D\rightrightarrows C$ pode ser vista como (ou associada a) uma relação binária $R\subseteq D\times C$ tal que R é dada pelo gráfico de Γ , definido como $Gr\left(\Gamma \right)\equiv \{\left(d,c\right)\in D\times C|c\in \Gamma \left(d\right)\}.$

Assim, sob a hipótese de que $\Gamma \left(d\right)$ é um conjunto unitário para cada $d\in D$, a correspondência Γ é uma função. Por outro lado, supondo que $D=C=A$, tem-se que $Gr\left(\Gamma \right)$ é uma relação de preferência em A.

Para discutir continuidade da função $\Gamma :D\to \mathcal{P}\left(C\right)$ utilizando uma generalização da definição de função contínua, seria necessário generalizar o conceito de bola aberta para o espaço de conjuntos onde reside $\mathcal{P}\left(C\right)$. Tal generalização poderia levar a uma versão generalizada do Lema 3 que empregaria um conceito generalizado de pré-imagem (imagem inversa) de funções⁶. Seguindo a tradição em Economia Matemática, Ok (2007) discute continuidade da função $\Gamma :D\to \mathcal{P}\left(C\right)$ em termos de continuidade da correspondência $\Gamma :D\rightrightarrows \mathcal{P}\left(C\right)$, conforme Definição 3 a seguir.

Definição 3. Seja $d\in D$ e a correspondência $\Gamma :D\rightrightarrows C$. Γ é dita contínua em d se Γ é hemi-contínua superior em d e também é hemi-contínua inferior em d . Por sua vez, Γ é dita hemi-contínua superior (uhc) em d se

(3) $$\forall V\subseteq C\left(\left(\left(V\text{é aberto em}C\right)\wedge \Gamma \left(d\right)\subseteq V\right)\Rightarrow \exists \delta >0\forall z\in B_{\delta }\left(d\right)\cap D\left(\Gamma \left(z\right)\subseteq V\right)\right)$$

e Γ é dita hemi-contínua inferior (lhc) em d se

(4) $$\forall V\subseteq C\left(\left(\left(V\text{é aberto em}C\right)\wedge \Gamma \left(d\right)\cap V\ne \varnothing \right)\Rightarrow \exists \delta >0\forall b\in B_{\delta }\left(d\right)\cap D\left(\Gamma \left(b\right)\cap V\ne \varnothing \right)\right).$$

Por fim, Γ é dita contínua/uhc/lhc em $E\subseteq D$ se Γ é contínua/uhc/lhc em todo ponto $e\in E$.

Cabe observar desde já a semelhança entre (1) e (3), em que o aberto relativo V em (3) desempenha papel semelhante àquele de bola aberta $B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]$ em (1). Analogamente, note a semelhança de (1) com (4), em que as interseções do aberto V com $\Gamma \left(d\right)$ e $\Gamma \left(b\right)$ em (4) desempenham papel semelhante àqueles dos pertencimentos de $f\left(d\right)$ e $f\left(y\right)$ a bola aberta $B_{\epsilon }\left[f\left(d\right)\right]$ em (1), respectivamente. Tais semelhanças tornam natural esperar que a ideia de continuidade global, estabelecida para funções no , possui versão para hemicontinuidade superior e para hemicontinuidade inferior. O a seguir, que apresenta tal resultado, é bastante conhecido em Economia Matemática e sua demonstração tipicamente é deixada como exercício para o leitor⁷.

Lema 5. Seja $\Gamma :D\rightrightarrows C$ e para cada $V\subseteq C$ defina ${\Gamma }^{-1}\left(V\right)=\{d\in D|\Gamma \left(d\right)\subseteq V\}$, conhecida como a imagem inversa superior de V , e ${\Gamma }_{-1}\left(V\right)=\{d\in D|\Gamma \left(d\right)\cap V\ne \varnothing \}$, conhecida como a imagem inversa (ou pré-imagem) inferior de V . Então,

(5) $$\Gamma \text{é uhc em}D\iff \forall V\subseteq C\left(\left(V\text{é aberto em}C\right)\Rightarrow {\Gamma }^{-1}\left(V\right)\text{é aberto em}D\right),$$

(6) $$\Gamma \text{é lhc em}D\iff \forall V\subseteq C\left(\left(V\text{é aberto em}C\right)\Rightarrow {\Gamma }_{-1}\left(V\right)\text{é aberto em}D\right),$$

(7) $$\Gamma \text{é uhc em}D\iff \forall F\subseteq C\left(\left(F\text{é fechado em}C\right)\Rightarrow {\Gamma }_{-1}\left(F\right)\text{é fechado em}D\right)\text{e}$$

(8) $$\Gamma \text{é lhc em}D\iff \forall F\subseteq C\left(\left(F\text{é fechado em}C\right)\Rightarrow {\Gamma }^{-1}\left(F\right)\text{é fechado em}D\right).$$

Para verificar tal interpretação do Lema 5, note a semelhança de (5) e (6) com o item (2) do Lema 3, em que ${\Gamma }^{-1}\left(V\right)$ em (5) e ${\Gamma }_{-1}\left(V\right)$ em (6) desempenham papel semelhante àquele de $f^{-1}\left(V\right)$ no item (2) do Lema 3. Ainda, note a semelhança de (7) e (8) com o item (3) do Lema 3, em que ${\Gamma }_{-1}\left(F\right)$ em (7) e ${\Gamma }^{-1}\left(F\right)$ em (8) desempenham papel semelhante àquele de $f^{-1}\left(V\right)$ no item (3) do.

Proposição 3. A correspondência $\Gamma :D\rightrightarrows C$ é contínua em D se D é discreto.

Demonstração. Pela , basta mostrar que Γ é uhc em D e também é lhc em D . Para estabelecer que Γ é uhc em D , basta obter (5) quando $D=A$ e A é discreto. Para tal, tome $V\subseteq C$ tal que V é aberto em C . Para ver que ${\Gamma }^{-1}\left(V\right)$ é aberto em $D=A$, note que ${\Gamma }^{-1}\left(V\right)=\{d\in D|\Gamma \left(d\right)\subseteq V\}$ é subconjunto de A e A é discreto. Pelo , ${\Gamma }^{-1}\left(V\right)$ é aberto em D . Analogamente, para estabelecer que Γ é lhc em D , basta obter (6) quando $D=A$ e A é discreto. Tome $V\subseteq C$ tal que V é aberto em C . Para ver que ${\Gamma }_{-1}\left(V\right)$ é aberto em $D=A$, note que ${\Gamma }_{-1}\left(V\right)=\{d\in D|\Gamma \left(d\right)\cap V\ne \varnothing \}$ é subconjunto de A e A é discreto. Novamente pelo , ${\Gamma }_{-1}\left(V\right)$ é aberto em D . ◻

3.1 Continuidade de Γ vs continuidade de R

A correspondência inversa (natural) de Γ é definida em $\Gamma \left(D\right)\equiv {\cup }_{d\in D}\Gamma \left(d\right)\subseteq C$ como a correspondência $\gamma :\Gamma \left(D\right)\rightrightarrows D$ tal que $\gamma \left(c\right)=\{d\in D|c\in \Gamma \left(d\right)\}$ para cada $c\in \Gamma \left(D\right)$. Adaptando a para a correspondência $\gamma :\Gamma \left(D\right)\rightrightarrows D$ e para um determinado ponto $c\in \Gamma \left(D\right)$, tem-se que γ é dita contínua em c se γ é uhc em c e γ é lhc em c . Ainda, γ é dita hemi-contínua superior em c se

(9) $$\forall U\subseteq D\left(\left(\left(U\text{é aberto em}D\right)\wedge \gamma \left(c\right)\subseteq U\right)\Rightarrow \exists \delta >0\forall z\in B_{\delta }\left(c\right)\cap \Gamma \left(D\right)\left(\gamma \left(z\right)\subseteq U\right)\right)$$

e γ é dita hemi-contínua inferior em c se

(10) $$\forall U\subseteq D\left(\left(\left(U\text{é aberto em}D\right)\wedge \gamma \left(c\right)\cap U\ne \varnothing \right)\Rightarrow \exists \delta >0\forall b\in B_{\delta }\left(c\right)\cap \Gamma \left(D\right)\left(\gamma \left(b\right)\cap U\ne \varnothing \right)\right).$$

Com o objetivo de relacionar Γ e R , suponha nesta subseção que $D=C=A$ para obter $\Gamma :A\rightrightarrows A$ e $\gamma :\Gamma \left(A\right)\rightrightarrows A$ dada por $\gamma \left(a\right)=\{b\in A|a\in \Gamma \left(b\right)\}$ para cada $a\in \Gamma \left(A\right)$. O gráfico de Γ , por sua vez, é dado por $Gr\left(\Gamma \right)=\{\left(d,c\right)\in A\times A|c\in \Gamma \left(d\right)\}\subseteq A\times A$. Neste caso, $G\equiv Gr\left(\Gamma \right)$ é uma relação binária em A e, portanto, é uma relação de preferência em A . A a seguir estabelece que continuidade de G é consequência da continuidade superior de Γ e de γ.

Proposição 4. Suponha $\Gamma :A\rightrightarrows A$ sobrejetiva e $\gamma :\Gamma \left(A\right)\rightrightarrows A$ sua inversa natural e $G=\{\left(d,c\right)\in A\times A|c\in \Gamma \left(d\right)\}$ seu gráfico. A relação de preferência G é contínua se Γ e γ são ambas superiormente hemi-contínuas em A.

Demonstração. Note inicialmente que o conjunto de contorno inferior da relação G em um dado ponto $a\in A$ é dado por $I_a=\Gamma \left(a\right)$ e o conjunto de contorno superior da relação G em um dado ponto $a\in A$ é dado por $S_a=\{b\in A|a\in \Gamma \left(b\right)\}$. De fato, $I_a=\left\{b\in A\left|aGb\}=\{b\in A\right|\left(a,b\right)\in G\right\}=\{b\in A|\left(a,b\right)\in Gr\left(\Gamma \right)\}$. Usando a definição de $Gr\left(\Gamma \right)$, tem-se $I_a=\left\{b\in A\left|\left(a,b\right)\in A\times A\wedge b\in \Gamma \left(a\right)\}=\{b\in A\right|b\in \Gamma \left(a\right)\right\}=\Gamma \left(a\right)$, em que a terceira igualdade usa que $\Gamma \left(a\right)\subseteq A$ e a segunda igualdade usa a equivalência entre as sentenças $\left(a,b\right)\in A\times A\wedge b\in \Gamma \left(a\right)$ e $b\in \Gamma \left(a\right)$ quando $a\in A$ e $b\in A$. Por fim, note que $S_a=\left\{b\in A\left|bGa\}=\{b\in A\right|\left(b,a\right)\in G\right\}=\left\{b\in A\left|\left(b,a\right)\in Gr\left(\Gamma \right)\}=\{b\in A\right|\left(b,a\right)\in A\times A\wedge a\in \Gamma \left(b\right)\right\}=\{b\in A|a\in \Gamma \left(b\right)\}$.

Do exposto, $S_a=\{b\in A|a\in \Gamma \left(b\right)\}=\gamma \left(a\right)$ se $a\in \Gamma \left(D\right)$ e $S_a=\{b\in A|a\in \Gamma \left(b\right)\}=\varnothing$ se $a\notin \Gamma \left(D\right)$. A sobrejetividade de Γ , ou seja, $\Gamma \left(D\right)=A$ garante que $S_a=\gamma \left(a\right)$ para todo $a\in A=\Gamma \left(D\right)$. Suponha que Γ é uhc em A e que γ é uhc em $\Gamma \left(A\right)=A$.

Quer-se provar que G é contínua, ou seja, que I_a e S_a são fechados em A para cada $a\in A$. Para tal, tome $a\in A$ e defina $F=\left\{a\right\}$. Então, ${\Gamma }_{-1}\left(F\right)=\left\{d\in D\left|\Gamma \left(d\right)\cap F\ne \varnothing \}=\{d\in D\right|\Gamma \left(d\right)\cap \left\{a\right\}\ne \varnothing \right\}=\{d\in D|a\in \Gamma \left(d\right)\}=\gamma \left(a\right)$ e ${\gamma }_{-1}\left(F\right)=\left\{c\in \Gamma \left(D\right)\left|\gamma \left(c\right)\cap F\ne \varnothing \}=\{c\in \Gamma \left(D\right)\right|\gamma \left(c\right)\cap \left\{a\right\}\ne \varnothing \right\}=\left\{c\in \Gamma \left(D\right)\left|a\in \gamma \left(c\right)\}=\{c\in \Gamma \left(D\right)\right|a\in D\wedge c\in \Gamma \left(a\right)\right\}=\left\{c\right|c\in \Gamma \left(a\right)\}=\Gamma \left(a\right)$. Assim, resta provar que ${\Gamma }_{-1}\left(F\right)$ e ${\gamma }_{-1}\left(F\right)$ são fechados em A quando $F=\left\{a\right\}$.

Afirma-se que $F=\left\{a\right\}\subseteq A$ é fechado em A . De fato, tal propriedade pode ser provada estabelecendo que $U\equiv A\setminus F$ é aberto em A . Para tal, tome $x\in U=A\setminus F$ e note que $x\ne a$ é garantido por $a\in F$ e $x\notin F$. Defina $\delta =\parallel x-a\parallel /2>0$ e tome $z\in B_{\delta }\left(x\right)\cap A$ arbitrário. Como $\parallel a-x\parallel >\parallel a-x\parallel /2=\delta$, então $a\notin B_{\delta }\left(x\right)$. Segue deste resultado que $z\ne a$ e, por isso, $z\in A\backslash \left\{a\right\}=A\backslash F$. Provou-se então que $B_{\delta }\left(x\right)\cap A\subseteq U$. Assim, tem-se $A\backslash F$ aberto em A e, por isso, F fechado em A.

Aplicando (7) para Γ uhc em A , tem-se em particular para $F=\left\{a\right\}\subseteq A=C$, um fechado em $C=A$, que ${\Gamma }_{-1}\left(F\right)$ é fechado em $D=A$. De forma similar, para a correspondência $\gamma :\Gamma \left(D\right)\rightrightarrows D$, tem-se a seguinte adaptação de (7):

(11) $$\gamma \text{é uhc em}\Gamma \left(D\right)\iff \forall F\subseteq D\left(\left(F\text{é fechado em}D\right)\Rightarrow {\gamma }_{-1}\left(F\right)\text{é fechado em}\Gamma \left(D\right)\right).$$

Usando que γ é uhc em $\Gamma \left(D\right)=A$, tem-se em particular para $F=\left\{a\right\}\subseteq A=D$, um fechado em $A=D$, que ${\gamma }_{-1}\left(F\right)$ é fechado em $\Gamma \left(D\right)=A$. ◻

A garante que se Γ e γ são contínuas, e Γ é sobrejetiva, então G é contínua. Em particular, as continuidades de Γ e γ implicadas por$D=C=\Gamma \left(D\right)=A$quando A é discreto geram continuidade na relação de preferência G ⁸.

4. Considerações finais

Inspirada na discussão sobre a continuidade da relação de preferência definida por (2) em $X={\cup }_{n=1}^{\infty }\left\{1-1/n\right\}$, esta nota apresentou uma discussão bastante abrangente sobre continuidade de relações de preferências definidas em conjuntos discretos. Em particular, a similaridade entre os conceitos de continuidade global de funções e de correspondências com a continuidade de relações de preferências foi utilizada como fio condutor da discussão.

Em linhas gerais, para além de estabelecer a continuidade da relação de preferência definida por (2) no conjunto X , esta nota foi capaz de esclarecer que tal resultado é um caso particular de um resultado muito mais geral: “Toda correspondência com domínio discreto é contínua”. Neste contexto, de conjuntos discretos, a relevância da propriedade de relatividade do conceito de conjunto aberto presente na definição de preferência contínua é transparente. De fato, sua combinação com pontos isolados gera continuidade de maneira direta, quase trivial (ver nota de rodapé 3). Além disso, negligenciar tal propriedade na definição de continuidade pode gerar o resultado completamente oposto: de não continuidade da preferência.

A proximidade entre o conceito de relações de preferência e o gráfico de correspondências aqui discutida naturalmente gerou o questionamento sobre a proximidade entre o conceito de continuidade de preferências e o conceito de continuidade de correspondências. O resultado documentado na e os contra-exemplos apresentados na nota de rodapé 8 são informativos sobre tal questionamento, mas certamente não esgotam a discussão. Por exemplo, aparentemente, a sobrejetividade de Γ não parece ser necessária para continuidade de G . Mais interessantemente, não é discutido nesta nota como se relacionam os conceitos de continuidade de G e a propriedade de gráfico fechado de Γ.

Cabe, por fim, reconhecer que a ambição desta nota não foi contribuir com um novo resultado em Economia Matemática. Todos, ou quase todos, os resultados aqui apresentados já são conhecidos neste campo. A contribuição proposta é apresentar um documento breve que reúne e relaciona de forma interessante diversos conceitos e resultados fundamentais em Economia Matemática. O objetivo com isso é comunicar para a academia brasileira em Economia, de forma breve e transparente, a relevância de tais conceitos.

• Trabalho desenvolvido no contexto das atividades acadêmicas do Laboratório de Economia, Matemática e Computação (LEMC/USP). Os autores Jefferson Bertolai, Mirelle Jayme e Nathan Machado agradecem ao Programa Unificado de Bolsas (PUB/USP) ao apoio financeiro no desenvolvimento de atividades acadêmicas dentro do LEMC/USP.

• 1
  Tal relevância se torna evidente ao se considerar que a principal característica que diferencia a Ciência Econômica de outros campos do conhecimento (por exemplo, as Ciências Naturais) é o fato de que os fenômenos investigados pela Economia são em grande medida resultantes de escolhas de agentes.

Apêndice A: Crucialidade do conceito de conjunto aberto relativo

A demonstração de que a relação de preferência ≽ é contínua empregou a definição de continuidade de preferência apresentada por Jehle e Reny (2011), em sua página 8 . Nesta definição, os autores foram precisos ao explicitar que os conjuntos de contorno superior e inferior da preferência lá discutida precisavam ser fechado em ${ℝ}_{+}^n$, o conjunto no qual a referida preferência foi definida.

Nem sempre a definição de continuidade de preferência é apresentada de forma tão explícita. Um importante exemplo é dado pelas definições apresentadas por Mas-Colell et al. (1995) nas páginas 46 e 47 para continuidade de uma preferência ≿ definida em um conjunto $\mathcal{X}\subseteq {ℝ}_{+}^L$, ambos arbitrários⁹. Primeiramente, o conceito de continuidade é apresentado por Mas-Colell et al. (1995) utilizando sequências, conforme transcrito na a seguir, por conveniência.

Definição 4 (Mas-Colell et al., 1995). The preference relation ≿ on $\mathcal{X}$ is continuous if it is preserved under limits. That is, for any sequence of pairs ${\left\{\left(x^n,y^n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ with $x^n\succsim y^n$ for all n , $x={\text{lim}}_{n\to \infty }{x}^n$, and $y={\text{lim}}_{n\to \infty }{y}^n$, we have $x\succsim y$.

Em seguida, o conceito de continuidade é apresentado por Mas-Colell et al. (1995) utilizando conjuntos de contorno superior e inferior, conforme transcrito a seguir, por conveniência

“An equivalent way to state this notion of continuity is to say that for all x , the upper contour set $\{y\in \mathcal{X}|y\succsim x\}$ and the lower contour set $\{y\in \mathcal{X}|x\succsim y\}$ are both closed; that is, they include their boundaries”.

Em ambas as definições apresentadas por Mas-Colell et al. (1995), é compartilhada com o leitor a responsabilidade de inferir sutilezas das definições. Na primeira definição, é necessário inferir que o limite x de ${\left\{x^n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ precisa ser elemento de $\mathcal{X}$, assim como o limite y de ${\left\{y^n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ precisa ser elemento de $\mathcal{X}$. Tal inferência seria baseada no fato de que a sentença $x\succsim y$ não faria sentido caso $x\notin \mathcal{X}$ ou $y\notin \mathcal{X}$, uma vez que a preferência ≿ é definida (a princípio) somente em $\mathcal{X}$. Na segunda definição, é necessário inferir que o conceito de conjunto fechado empregado é o de fechado relativo, ou seja, inferir que os conjuntos $\{y\in \mathcal{X}|y\succsim x\}$ e $\{y\in \mathcal{X}|x\succsim y\}$ precisam ser fechados no conjunto $\mathcal{X}$, ao invés de fechados (em ${ℝ}_{+}^L$

).

Uma leitura desatenta das definições apresentadas por Mas-Colell et al. (1995) gera o risco de concluir de forma incorreta que a relação de preferência ≽ estudada neste trabalho não é contínua. Para ilustrar tal risco, suponha que esta leitura tenha gerado o entendimento que a definição de continuidade de relação seja dada pela a seguir, por conveniência denominada por contínua*. Neste caso, o leitor seria capaz de provar a a seguir¹⁰.

Definição 5. Seja $A\subseteq {ℝ}_{+}^L$ e $\succsim \subseteq A\times A$. A relação de preferência ≿ é contínua* se para cada $b\in A$ os conjuntos $S_b\equiv \left\{a\in A|a\succsim b\right\}$ e $I_b\equiv \{a\in A|b\succsim a\}$ são conjuntos fechados em ${ℝ}_{+}^L$.

Proposição 5. A relação de preferência ≽ definida em (2) não é contínua*.

• 1
  Tal relevância se torna evidente ao se considerar que a principal característica que diferencia a Ciência Econômica de outros campos do conhecimento (por exemplo, as Ciências Naturais) é o fato de que os fenômenos investigados pela Economia são em grande medida resultantes de escolhas de agentes.
• 2
  Em grandes linhas, continuidade de ≿ é atrativa para modelar comportamentos suaves: escolhas em subconjuntos de A que não mudam de forma abrupta após pequenas perturbações neste subconjunto. Um exemplo clássico de relação de preferência que não é contínua é a classificação lexicográfica de pontos em R^(2).
• 3
  De fato, em um espaço métrico (Y,d), na topologia relativa a A⊆Y, todo subconjunto de A é aberto e, por isso, continuidade é trivialmente obtida. Agradecemos a avaliação anônima que pontuou a generalidade ainda maior deste resultado.
• 4
  Tal relevância da natureza relativa do conceito de aberto é explorada em detalhes no no contexto do exemplo da . Conclui-se que, ao negligenciar a relatividade do conceito de conjunto aberto presente na definição de continuidade de relação de preferência, incorre-se no equívoco de concluir que a preferência ≽ definida em (2) não é contínua.
• 5
  O simbolo ∀ utilizado na sentença (2) é o quantificador universal e pode ser lido como “para todo". Já o símbolo ⇔ é o conectivo bicondicional e pode ser lido como “se, e somente se", ou ainda como “é equivalente a".
• 6
  Para uma abordagem nestes termos, ver Klein e Thompson (1984).
• 7
  Aliprantis e Border (2013) e Ok (2007), por exemplo, convidam o leitor para demonstrar tal lema. Já Klein e Thompson (1984) e Berge (1963) demonstram versões mais gerais deste resultado, utilizando conceitos de continuidade de correspondência levemente diferentes daqueles adotados nesta nota. Por conveniência, Barbieri et al. (2023), a versão em working paper desta nota, apresenta uma demonstração deste resultado.
• 8
  A importância de se supor continuidade superior de γ para este resultado decorre do fato de que continuidade de Γ não é suficiente para gerar continuidade de γ, nem mesmo para gerar hemicontinuidade superior de γ. Este ponto pode ser verificado por meio de contra-exemplos.
  Considere Γ:D⇉C com D=C=[0,2] tal que Γ(d)=2d se d∈[0,1) e Γ(d)=2 para d∈[1,2]. Neste caso, é fácil ver que Γ é contínua, uma vez que Γ é uma função contínua. A inversa natural de Γ neste caso é γ:Γ(D)⇉D com Γ(D)=C e tal que γ(c)={c/2} quando c∈[0,2) e γ(2)=[1,2]. Embora Γ seja contínua, a correspondência γ não é contínua por não ser lhc em c=2.
  Para outro contraexemplo, considere Γ:D⇉C com D=C=[0,2] tal que Γ(d)=[0,2) se 0≤d<1 e Γ(d)=[0,2] para 1≤d≤2, uma correspondência contínua. Neste caso, a inversa natural de Γ é γ:Γ(D)⇉D com Γ(D)=C e tal que γ(c)=[0,2] quando c∈[0,2) e γ(2)=[1,2]. A correspondência γ não é contínua por não ser uhc em c=2.
• 9
  Cabe enfatizar que o conjunto X nesta discussão é arbitrário, não necessariamente igual a X=〖∪〗_(n=1)^(∞){1-1/n}.
• 10
  Uma demonstração para esta proposição pode ser encontrada em , working paper desta nota.

Referências Bibliográficas

• Aliprantis, Charalambos e Kim Border (2013): Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker’s Guide, Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Company KG. [6]
• Barbieri, Fábio, Jefferson Bertolai, Mirelle Jayme, e Nathan Machado (2023): “Uma nota sobre continuidade de relações de preferência definidas em conjuntos discretos,” Rel. Técn., LEMC-FEARP/USP, Ribeirão Preto. [6, 10]
• Berge, Claude (1963): Topological spaces: including a treatment of multivalued functions, vector spaces and convexity, Oliver and Boyd. [4, 6]
• Jehle, GA e PJ Reny (2011): “Advanced Microeconomic Theory,” . [9]
• Klein, Erwin e Anthony C Thompson (1984): Theory of correspondences: Including applications to mathematical economics, Wiley. [5, 6]
• Mas-Colell, Andreu, Michael Dennis Whinston, Jerry R Green, et al. (1995): Microeconomic theory, vol. 1, Oxford university press New York. [9, 10]
• Ok, Efe A (2007): Real analysis with economic applications, vol. 10, Princeton University Press. [5, 6]

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  24 Maio 2024
• Data do Fascículo
  2024