Cancelamento das forças de vínculo em anel condutor carregado com nq cargas por meio de uma carga Q de sinal contrário posicionada no centro

Cancellation of constraint forces in the charged conductor ring with nq charges by a charge Q with opposite sign placed on the center

Resumos

O problema proposto é o de um anel condutor de raio R carregado com n cargas q, em que se deseja anular as forças de vínculo que nele atuam. A solução é colocar no centro do anel determinada carga Q de sinal contrário, de modo que a soma das forças elétricas sobre cada carga do anel devido à carga central e às outras cargas do anel seja nula. Busca-se, portanto, uma função Q(nq) que forneça o valor da carga central em função de nq. O resultado mostra-nos que Q(nq) é proporcional a n ln(n)q para n <img border=0 width=32 height=32 src="http://img/fbpe/rbef/v23n2/smama.gif">2.

The proposed problem is to calculate the charge to be placed in the center of a ring, in which we distribute n charges equal to q, so that the constraint force become null. The solution for this problem is to place a charge Q of opposite sign in the center of the ring, so the sum of electric forces in each charge in the ring, due to the central charge and the other charges, become null. We search for a function Q(nq) that gives the value of Q in terms of nq. The result is that Q(nq) is proportional to n ln(n)q for n <img border=0 width=32 height=32 src="http://img/fbpe/rbef/v23n2/smama.gif">2.

Cancelamento das forças de vínculo em anel condutor carregado com nq cargas por meio de uma carga Q de sinal contrário posicionada no centro

Cancellation of constraint forces in the charged conductor ring with nq charges by a charge Q with opposite sign placed on the center

Norberto Helil Pasqua^* e Paulo Daniel Emmel^†

Departamento de Física, Universidade Federal de São Carlos

UFSCar (Universidade Federal de São Carlos) - Brasil

C.P. 676, 13565-905, São Carlos, SP, Brasil

Recebido em 04/01/2001. Aceito em 12/03/2001

O problema proposto é o de um anel condutor de raio R carregado com n cargas q, em que se deseja anular as forças de vínculo que nele atuam. A solução é colocar no centro do anel determinada carga Q de sinal contrário, de modo que a soma das forças elétricas sobre cada carga do anel devido à carga central e às outras cargas do anel seja nula. Busca-se, portanto, uma função Q(nq) que forneça o valor da carga central em função de nq. O resultado mostra-nos que Q(nq) é proporcional a n ln(n)q para n 2.

The proposed problem is to calculate the charge to be placed in the center of a ring, in which we distribute n charges equal to q, so that the constraint force become null. The solution for this problem is to place a charge Q of opposite sign in the center of the ring, so the sum of electric forces in each charge in the ring, due to the central charge and the other charges, become null. We search for a function Q(nq) that gives the value of Q in terms of nq. The result is that Q(nq) is proportional to n ln(n)q for n 2.

I Introdução

Consideremos um anel condutor de raio R, cujo fio tenha um diâmetro tal que qualquer quantidade de cargas (n 2) seja distribuída linearmente em toda sua extensão. Tomando-se nq cargas idênticas entre si e abandonando-as aleatoriamente nesse anel, observar-se-á o movimento dessas até encontrarem posições em que não experimentem nenhuma força resultante.

O movimento observado da i-ésima carga - até o estabelecimento do equilíbrio eletrostático - é devido à força repulsiva de Coulomb [1] entre esta e as demais. Esta força tem a forma

onde r_ij = |r_i- r_j| é a distância entre duas cargas, e₀ é constante de permissividade elétrica e no somatório não se considera j = i.

Apesar da força repulsiva, as cargas permanecerão no anel devido à presença de forças de vínculo, que também são de origem elétrica. Conseqüentemente, quanto maior n, maior deverá ser a intensidade de tais forças para que o sistema permaneça em equilíbrio. O acúmulo de cargas no anel gera tensões que podem ser anuladas, colocando-se determinada carga puntiforme Q de sinal oposto a q posicionada no centro do anel. Anular essas forças de vínculo é equivalente a obter uma força resultante nula, F_res = 0, sobre cada carga do sistema, isto é, sobre as nq cargas do anel e sobre a carga central Q.

Para o cálculo de Q(nq), considerou-se um sistema cartesiano (vide Figuras 1, 2 e 3) com origem em uma carga q₁, Pq₁(0,0) , de modo que o eixo-y tangencie o anel e o eixo-x passe pelo seu centro, onde está posicionada a carga central, P_Q = (R, 0). Dada a simetria do anel e o mesmo valor das n cargas, o ângulo formado pelos raios de duas cargas consecutivas será de 2p/n. Já a distância em módulo de q₁ até a j-ésima carga q_j projetada sobre o eixo-x pode ser escrita como d(q₁, q_j) = |r_1j| = 2Rcosa_1j, a_1j = - o ângulo formado entre r_1j e o eixo-x, com j = 2, 3, ..., n. Observe-se que, por construção, a_1j encontra-se no intervalo ( - , ) , não variando, portanto, o sinal de cosa_1j, que será sempre positivo. A construção do sistema dessa forma apresenta a vantagem da simplificação do cálculo, uma vez que, dada a simetria da distribuição, a componente da força resultante paralela ao eixo-y será sempre nula, e a componente paralela ao eixo-x tomada sobre a carga q₁, terá a forma

II Desenvolvimento

Consideremos primeiramente n=2, ou seja, duas cargas q sobre o anel. Procura-se por um determinado valor de Q(2q) tal que F_res = 0. No equilíbrio, as duas cargas q₁ e q₂ encontram-se diametralmente opostas (a₁₂ = 0) . Do ponto de vista de q₁, ou seja, a partir de q₁, obtem-se

ou

Sendo |

r

_1Q| =

R, |

r

₁₂| = 2

R, e

q

₁ =

q

₂ =

q, tem-se que

Note-se que Q(2q) não depende do raio do anel. Obviamente, isto deve-se ao fato de Q estar posicionada a meia distância entre q₁ e q₂.

Tomemos, agora, três cargas q sobre o anel e usando como referência a Figura 1, calculemos o valor de Q(3q) de maneira que a resultante na direção seja nula,

Como |

F

₁₂| = |

F

₁₃| ,

q

₁ =

q

₂ =

q, |

r

_1Q| =

R e |

r

₁₂| = |

r

₁₃| = 2

Rcosa

₁₂, sendo -a

₁₂ = a

₁₃ =

, segue que

pois cos( -q) = senq. Aqui, para n=3, novamente Q não depende de R como era de se esperar. Finalmente,

Para quatro cargas q sobre o anel, a componente x da força resultante tem a seguinte forma

A partir da Figura 2, observa-se que,

ou

Ainda é insuficiente o número de cargas para que se possa abstrair e obter uma função. Sigamos em frente acrescentando mais cargas ao anel.

Tomemos cinco cargas q sobre o anel (n = 5) , conforme Figura 3.

Então,

ou

Portanto,

Seguindo o mesmo raciocínio para alguns outros valores de n e organizando os dados como feito abaixo, verifica-se que há uma relação entre o número de cargas e o número de parcelas a serem somadas, bem como a variação do valor do argumento de seno:

Pode-se notar a existência de dois padrões, um para número par de cargas q e, outro para número ímpar. É possível então generalizar, de modo a encontrar o valor de Q(nq) para qualquer n 2:

e,

A limitação para o uso da série diz respeito à capacidade de cálculo do computador e ao tempo disponível. Para n muito grande - cuja ordem de grandeza supere a precisão da máquina - o cálculo torna-se além de lento, impreciso. O grande número de termos somados torna o erro absoluto maior que o valor das parcelas adicionadas, prejudicando a obtenção do valor da carga central. Uma solução para este problema é fracionar a soma de modo a limitar a propagação do erro.

A Figura 4 abaixo mostra como evolui o valor da carga central em relação à carga distribuída sobre o anel condutor num intervalo de n = 2 a 10 cargas (neste e nos demais gráficos a carga q foi tomada igual à unidade). Este gráfico informa que o valor da carga central cresce mais rapidamente que a carga do anel.

Como se comporta Q(nq) para valores grandes de n? A Figura 5 apresenta valores de Q(nq) no intervalo de n = 2 a 10⁶. Pode-se observar que, conforme n cresce, a curva parece tender a uma reta. Pergunta-se: será Q(nq) linear com nq quando n for muito grande? E, existe uma expressão matemática que descreve esse crescimento e que seja, ao mesmo tempo, mais prática que as séries encontradas acima? A resposta a ambas as perguntas é sim. O restante deste trabalho é dedicado à busca dessa expressão matemática e à sua análise.

A realidade física impõe que, para a detecção de cargas elétricas em um objeto, n seja superior a 10⁶. Em eletrômetros típicos (como um Keithley modelo 617), o intervalo de operação encontra-se entre 10^-13 e 10^-8A. Sendo a carga elétrica elementar de um elétron ou de um próton equivalente a 1,602 × 10^-19C, verifica-se que tais eletrômetros detectam quantidades de cargas entre 10⁶ e 10¹¹ unidades. Tal intervalo será usado na obtenção e em análises de Q(nq).

Pode-se considerar a Eq.(7) e a Eq.(8) como sendo equivalentes, pois no intervalo citado acima é completamente indiferente

n ser par ou ímpar. Além disso, na Eq.(7) observa-se que o fator 1/2 só tem importância quando

n ~ 10, de modo que se pode desprezá-lo. Isto permite trabalhar com uma única expressão para

n grande. Então, tomando a série

ímpar,

Q(

nq)

_sr , tem-se

Como a Eq.(9) não depende do raio do anel, este pode ser considerado de um tamanho tal que a distribuição de cargas seja contínua. Neste caso é fácil transformar a série ímpar em uma integral, usando a definição de soma de Riemann [2] para partição regular

Assim, fazendo na Eq.(9) i = x, = Dx e tomando o limite de Dx ® 0, encontra-se

Após alguma manipulação algébrica obtem-se a seguinte função denominada obtida, Q(nq)_ob,

Comparando-se os gráficos das equações (9) e (10), verifica-se que, para valores grandes de n, essas parecem posicionar-se paralelamente (Figuras 6 e 7). É possível melhorar isto, visando a convergência das duas curvas, através de uma adequada alteração dos limites de integração. Tomaram-se, para tanto, intervalos de integração de tamanho constante e variou-se a origem do mesmo de modo a minimizar o valor absoluto da diferença entre a série e a integral. Uma boa aproximação foi conseguida através do seguinte intervalo: x_i = e x_f = - , de modo a obter-se a função melhorada, Q(nq)_me,

Pode-se notar que a função melhorada está de bom acordo com a série. Tal concordância, estudada para n variando, em ordem, de 10¹ a 10⁸, deu-se assintoticamente conforme observado na Tabela 2. Aqui é encontrada uma outra limitação para o cálculo de Q através da série. A quantidade máxima de cargas permitida, ou o número inteiro máximo possível de se operar em linguagem Fortran 90 (for Windows)¹ deve ser menor ou igual a 10⁹.

Devido à convergência da função melhorada é possível extrapolar os limites impostos ao uso da série. Para valores de n com sentido físico, isto é, valores compreendidos entre 10⁶ e 10¹¹ cargas elementares, a função representa uma boa ferramenta para o cálculo da carga central.

Pode-se obter uma função para o cálculo de Q mais compacta, à medida em que se considera somente o termo dominante da Eq.(11). No intervalo entre 10⁶ e 10¹¹ cargas elementares os argumentos de senos, de cosenos e de logaritmos neperianos são suficientemente pequenos para poderem ser expandidos em série de Taylor² até termos de segunda ordem. Assim, a função aproximada, Q(nq)_ap, pode ser escrita aproximadamente como

Como ~ 1 e a constante subtrativa pouco afeta o cálculo para o intervalo de n considerado, pode-se finalmente escrever,

Deve-se observar, entretanto, que o termo dominante da série, Eq.(12) apresenta maior imprecisão que a Eq. (11) ou mesmo que a Eq.(10). No caso, como mostrado na Tabela 3, no intervalo de interesse, a imprecisão é cerca de uma parte em cem.

Embora Q não seja linear com nq, conforme Eq.(12), tem-se que ln(Q) torna-se linear com ln(n) para n muito grande. Isto é verificado através da derivada logarítmica de Q

e mostrado na Figura 8 através de um gráfico de versus ln(n) .

III Conclusão

A função melhorada está de bom acordo com a série e, portanto, constitui um modo de se obter o valor da carga central de forma mais rápida. Com esta função, é possível extrapolar o valor da série em regiões onde o uso da série é impraticável por meios numéricos. Dentro da realidade física, isto é, com n entre 10⁶ e 10¹¹, pode-se usar a função aproximada (ou o termo dominante da série), isto é,

o qual apresenta imprecisão de uma parte em cem nesse intervalo.

Cabe ressaltar que a proposta inicial deste estudo foi solucionar um problema essencialmente teórico. Permanece em aberto, portanto, o estudo de casos experimentais que venham a se utilizar do aqui exposto.

Referências

^†e-mail: [e-mail]

¹No Fortran 90, o comando INTEGER(4) permite-nos operar com números inteiros no intervalo de -2.147.483.648 a 2.147.483.647.

²

• 1. Reitz, J. R., Milford, F. J., Christy, R. W. Fundamentos da Teoria do Eletromagnetismo 7^aedição, Rio de Janeiro, Campus, 1982.
• 2. Swokowski, E.W. Cálculo com Geometria Analítica 2^aedição, São Paulo, Makron Books, 1994.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Maio 2011
• Data do Fascículo
  Jun 2001