O potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria

The effective potential for a theory with spontaneous symmetry breaking

ARTIGOS GERAIS

O potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria

The effective potential for a theory with spontaneous symmetry breaking

Denimar Possa; Flávio Pereira; José Alexandre Nogueira¹

Departamento de Física, Centro de Ciências Exatas, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil

RESUMO

Neste trabalho nós mostramos como determinar o potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria.

Palavras-chave: potencial efetivo, quebra espontânea de simetria, expansão em "loop".

ABSTRACT

In this work we show how to derive the effective potential for a theory with spontaneous symmetry breaking.

Keywords: effective potential, spontaneous symmetry breaking, loop expansion.

1. Introdução

O potencial efetivo é uma importante ferramenta para o estudo da quebra espontânea de simetria [1-8], determinação da energia do vácuo (energia de Casimir [9-13]), na renormalização da massa e da constante de acoplamento [14-18], etc.

O potencial efetivo é definido como o valor esperado do operador hamiltoniano calculado no estado, que entre o conjunto de estados {f}, minimiza o valor esperado do operador hamiltoniano . Assim,

tal que f_c seja o valor esperado do operador de campo calculado neste estado que minimiza a energia,

É claro que o potencial efetivo assim definido tem a interpretação de densidade de energia e, portanto, é uma função real [19-21].

Em uma teoria quântica de campos o potencial efetivo é uma generalização quântica do potencial clássico, sendo que o vácuo quântico pode ser obtido do mínimo daquele potencial. O potencial efetivo pode ser expresso como uma expansão em loop (que coincide com uma expansão em potências de ), de modo que ele é dado por uma soma do termo clássico com correções que representam o efeito da intera cão do campo com o vácuo quântico.

Devido a sua interpretação como energia, o potencial efetivo deve necessariamente ser uma função real e convexa. Entretanto, quando a teoria apresenta quebra espontânea de simetria a "tree level", a expansão em "loop" para a determinação do potencial efetivo até a primeira ordem em , conduz a uma função que não é real para todo f. Isto indica que este resultado não deve ser o verdadeiro potencial efetivo. Isto ocorre porque esta função é obtida de uma continuação analítica termo a termo da expansão em () para o potencial efetivo, e não existe garantia alguma que esta deva ser igual à expansão da continuação analítica do potencial efetivo. Uma vez que somente a parte real de um potencial pode ser interpretada como energia, ingenuamente poderia-se pensar em contornar este problema tomando somente a parte real da continuação analítica da função obtida da expansão em "loop". Porém, o problema ainda não está resolvido, pois o resultado assim obtido conduz a uma função que não é convexa e que, portanto, não pode ser o verdadeiro potencial efetivo. A falha agora está no emprego incorreto da transformada de Legendre para a obtenção do potencial efetivo.

A fim de determinar-se o (verdadeiro ou correto) potencial efetivo, um emprego cuidadoso do procedimento usado para sua obtenção deve ser realizado. O objetivo desse trabalho é mostrar como o (verdadeiro) potencial efetivo é obtido para uma teoria com quebra espontânea de simetria.

O artigo está organizado da seguinte forma: Na seção 2 é mostrado que o potencial efetivo em (), obtido de uma expansão em "loop", para uma teoria com quebra espontânea de simetria, não pode ser o verdadeiro potencial efetivo. Na seção 3 é mostrado como obter o verdadeiro potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria. No ^{apêndice B} é dada uma definição precisa da transformada de Legendre. Os cálculos efetuados são realizados no espaço-tempo euclidiano e não são usados sub-índices na notação para indicar este fato.

2. O potencial efetivo

Seja a teoria determinada pela densidade lagrangiana

com a constante de acoplamento l = 2 b² > 0, de modo a garantir a estabilidade da teoria. Considere somente valores de M² > 0, para os quais a simetria de reflexão de f na origem é espontaneamente quebrada. O potencial clássico é identificado com

e o mínimo é degenerado em

O potencial efetivo pode ser determinado a partir da equação² [15, 21]

com a função zeta z_m(s) dada por

onde . Para v² > 0 a integral pode ser realizada usando (veja ^{Apêndice A})

obtendo-se

Usando a propriedade G(x) = (x-1)G(x-1), tem-se

Assim,

e

Substituindo (9) e (10) em (4), o potencial efetivo é, então, dado por

expressão válida para v²> 0, isto é, .

Ingenuamente, poderia se pensar em usar o resultado (11) para determinar o estado de vácuo da teoria. Porém, tal procedimento não é correto, pois a Eq. (11) somente é válida para , deixando de fora uma importante região, onde se encontra f = 0. Uma forma imediata de se contornar o problema seria estender (11) para v imaginário. Entretanto, como se sabe o potencial efetivo é interpretado como densidade de energia e, sendo assim, é uma função real. Assim, quando se faz a extensão analítica de (11) para a região em que v² < 0, obtém-se uma função não real. Isto indica que esse resultado não deve ser o potencial efetivo verdadeiro. Para entender o que está acontecendo, deve-se notar que este último resultado é obtido através de uma continuação analítica termo a termo da expansão em "loop" para o potencial efetivo, e nada garante que esta deva ser igual à expansão da continuação analítica do potencial efetivo. O que se quer enfatizar é que não existe problema algum com o potencial efetivo, mas sim na maneira com que o cálculo foi feito, usando uma expansão assintótica em (). O método usado para obter a expansão assintótica somente faz sentido se o potencial clássico for convexo, e portanto a parte imaginária é o preço que se paga por usá-la inapropriadamente. Para salvar o cálculo, nota-se que somente a parte real de um potencial pode ser interpretado como energia ³. Assim, uma maneira direta de contornar o problema é tomar a parte real da continuação analítica, isto é,

No entanto, novamente o problema não está resolvido, pois, como se sabe, o potencial efetivo é convexo, o que não ocorre com o potencial da Eq. (12). A falha agora é decorrente do uso inadequado da transformada de Legendre na obtenção do potencial efetivo. Usando uma definição precisa desta transformada (veja ^{Apêndice B}) obtém-se, como é esperado, um resultado convexo [7].

3. O potencial efetivo verdadeiro

Considere o caso simples onde o funcional gerador das funções de Green conexas⁴

é substituído por uma aproximação de ordem zero, com fontes e campos uniformes. Então, este funcional gerador fica dado, para (⁰), pelo produto do volume espaço-temporal V_olt com uma função ordinária w(J), dada por

A fim de obter uma compreensão mais simples do procedimento, trata-se primeiramente do caso sem quebra espontânea de simetria, ou seja, quando M² = -m², com m real. Assim,

O campo f₀ é uma função da fonte J determinado pela equação clássica

A solução f₀(J) pode ser determinada graficamente encontrando-se o valor de f₀ para o qual a curva que representa a função (f₀) intercepta = J. Neste caso cada valor de J' determina um valor único para , como pode ser visto na Fig. 1.

Como a ação é estacionária sob variações de f₀ com J fixo,

A derivada segunda é dada por

De acordo com a Fig. 1, f₀(J) é uma função crescente, e portanto

ou seja, a função w(J) é convexa, conforme esperado [21]. O gráfico desta função é esboçado na Fig. 2.

O potencial efetivo, neste caso, é dado pela transformada de Legendre

Para determinar V_ef(f₀) é necessário encontrar V_ef() para cada dado. Mas, dado que J' está associado a ele. Como pode ser visto do ^{Apêndice B}, V_ef() é dado pela máxima distância entre a reta J e a curva w(J) que é determinada por

Uma vez que, como pode ser observado na Fig. 1, para cada valor de J' existe um único possível valor de . Isto implica que a derivada de w(J) com relação a J é contínua. Desta forma V_ef(f₀) é facilmente obtida, veja Fig. 3.

Para o caso M² = m², m real (com quebra espontânea de simetria), o potencial clássico é dado por

O gráfico desta função encontra-se na Fig. 4. Os pontos de mínimo degenerados são dados por

Como no caso anterior, o campo f₀(J) é determinado através da equação (f₀) = J, sendo que agora

O gráfico de (f₀) é ilustrado na Fig. 5. Os pontos estacionários de são dados por

e definem

Para J > J₊ ou J < J_-, a solução f₀(J) é única. Entretanto, quando J_- < J < J₊ existem três valores possíveis para f₀(J). Esta ambigüidade é removida lembrando que (para cada J' ) o valor de é definido como sendo aquele que implica na menor energia para o sistema.

A densidade de energia do estado de vácuo perturbado adiabaticamente por uma fonte J é dada por

Substituindo na Eq. (27) J por , obtém-se uma função, denotada por e', que determina o valor da densidade de energia para todos os valores possíveis de f₀ (assumidos ou não pelo sistema físico). Tem-se, portanto,

Veja o gráfico da Fig. 6.

Para cada valor de J, o campo f₀ assume o valor que minimiza a função e'. Em princípio, quando 0 < J < J₊, o campo f₀ poderia assumir três valores, sendo um deles maior do que f₊, e os outros dois na região f_- < f₀ < f₊ (veja a Fig. 4). Pela Fig. 5 é fácil verificar que, dentre esses valores para o campo, o que leva a um menor valor de e' é aquele em que f₀ > f₊. Portanto, para J > 0, o campo f₀ assume somente os valores f₀ > f₊. Por um raciocínio idêntico, tem-se que, para J < 0, o campo f₀ assume somente os valores f₀ < f_-.

Pode-se obter agora, a partir da Eq. (28) e dos valores assumidos por f₀, a função w. Ela é representada pelo gráfico da Fig. 7.

A função w é contínua em J = 0, onde

Entretanto, existe uma descontinuidade na derivada primeira de w em J = 0, ou seja,

Essa função tem um "bico" em J = 0. Essa é uma característica de sistemas que apresentam quebra espontânea de simetria. Um fato a ser destacado em toda esta discussão é que a função

como se pode ver pela Fig. 7. Portanto, mesmo nesse caso, a função w é convexa.

O potencial efetivo é agora obtido pela aplicação da transformada de Legendre, Eq. (47), à função w, obtendo-se⁵

Reportando-se ao gráfico da Fig. 7 e adicionando a ele a reta com coeficiente angular igual a , obtém-se a Fig. 8. A transformada de Legendre se dá com a máxima separa cão vertical entre a reta e a curva para w(J). Se a reta estiver abaixo da curva, a separação é negativa. O máximo nesse caso corresponde à mínima distância geométrica (medida verticalmente na figura). Esta situação acontece quando -f_t < < f_t, onde f_t é definido por v(f_t) = 0, ou seja, f_t = . Portanto, para nesta região, o potencial efetivo é negativo. A derivada tem uma descontinuidade na origem (veja Eq. (30)), e ambas as derivadas à direita (f₊) e à esquerda (f_-) são não nulas. Daí decorre um fato importante. Quando = f₊, a inclinação da reta é igual à derivada à direita na origem, e a distância mínima entre as curvas é . Quando a inclina cão diminui, a distância mínima continua a ser w(0), isto ocorrendo até que a inclinação se torne = f_- = -f₊. Portanto, nesta região, a transformada de Legendre é constante e tem-se

Fora desta região ( > f₊ ou < f_-), o potencial efetivo assume os mesmos valores que o potencial em ordem zero, ou seja,

O gráfico do potencial efetivo é mostrado na Fig. 9. A linha pontilhada nesta figura representa a parte real da continua cão analítica de v na região f_- < f_c < f₊ .

O verdadeiro potencial efetivo calculado até ordem zero corresponde ao potencial clássico com a

não convexa substituída por uma linha reta horizontal. Ele satisfaz, portanto, o critério de convexidade. Embora a construção acima tenha sido realizada para o potencial em ordem zero, o raciocínio não é alterado quando se inclui termos de (). Portanto, o potencial efetivo pode ser construído a partir da parte real da expansão em loop, substituindo a parte não convexa desta por uma linha reta. Esta construção, chamada construção de Maxwell, é denotada pelo sub-índice M, de modo que o potencial efetivo é expresso como

4. Conclusão

No caso de teorias cujo potencial clássico tenha uma parte não convexa, isto é, potenciais que a "tree level" apresentam mais de um mínimo, o cálculo do potencial efetivo a um "loop" deve ser realizado considerando a construção de Maxwell. A construção de Maxwell é obtida substituindo-se a parte não convexa por uma linha reta unindo os dois mínimos.

Recebido em 13/5/2005; Aceito em 31/8/3005

Neste apêndice é demonstrada a relação

A função G(s) é definida por

De início, convém obter (fazendo y = (K² + A²)x)

Dividindo ambos os membros por G(s), (37) se torna

Agora, com a relação

obtém-se

Com o uso de (38) no segundo membro de (40) obtém-se

A integral em K pode ser reescrita usando a mudança de variável z = xK², obtendo-se

ou seja,

Resolvida a integral em K, (41) torna-se

Usando na integral em (38), a expressão para (44) é dada por

e está demonstrado o resultado.

A transformada de Legendre é uma regra em que dada uma função f(x) produz uma outra g(p). Assim, dada a função f(x), deseja-se determinar uma nova função g(p). Para se determinar g(p), deve-se encontrar os valores de g(p') para todo p'. Então, a pergunta é: dado p' como determinar g(p')?

Define-se a função G de x e p, tal que,

Note que para um determinado p' existem infinitos x que fornecerão diferentes G(x, p'). Para associar a cada p' um único G(x', p') = g(p') define-se x', tal que,

Geometricamente g(p') é dada pela máxima distância entre a reta xp' (com coeficiente angular p' e a curva f(x)

Se f(x) for uma função convexa e diferenciável, existe um máximo simples, e x' é tal que

então,

A Eq. (49) associa a cada p um x, o que define x = x(p). Nesse caso

e a transformada de Legendre é uma função contínua e diferenciável.

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Apêndice A

apêndice B

2

Nós usamos

=

c = 1, contudo, mantemos

para marcar as correcões quânticas.

3

A parte imaginária do potencial efetivo pode ser interpretada como a razão de decaimento por unidade de volume de um estado bem definido [22].

4

Note que f

_c = f

₀ em

(

⁰).

5

Note que

V_ef(

) significa

V_ef(f

₀) calculado no ponto f

₀ =

.

⁶ Note que a reta

xp' é paralela à reta tangente à curva

f(

x) no ponto

x'.

⁶

.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  14 Dez 2005
• Data do Fascículo
  Set 2005

Histórico

• Recebido
  13 Maio 2005
• Aceito
  31 Ago 2005