Influencia de Tareas con Software GeoGebra en el Desarrollo de la Competencia Matemática en Estudiantes de Ingeniería

Influence of Tasks with GeoGebra Software on the Development of Mathematical Competence in Engineering Students

Resumen

Este artículo trata sobre el diseño e implementación de tareas con software GeoGebra en el aula de matemática de carreras de ingeniería y el desarrollo competencial puesto en juego cuando los alumnos las realizan. En cuanto a las tareas, se categorizaron en cuatro niveles de acuerdo con su demanda cognitiva, con la interacción alumno-software y con la relación entre conceptos matemáticos que cada una propone. Mediante un experimento de enseñanza en una comisión de Análisis Matemático I se analizó la influencia del GeoGebra en el desarrollo de la competencia matemática en tareas de distintos niveles, de las cuales se muestran dos en este trabajo. El análisis de los resultados revela que, en la tarea con demanda cognitiva media y consigna guiada para su resolución, es posible evidenciar capacidades matemáticas específicas desarrolladas por los estudiantes. Sin embargo, el resultado es adverso en la que la demanda cognitiva y la interacción alumno-software es alta. Los estudiantes realizaron una exploración escasa para poder conjeturar y no justificaron formalmente lo que pudieron visualizar con el software. Esto evidenció un bajo desempeño competencial en este tipo de tarea y destaca la relevancia de la interacción social en el aula y de la guía del docente.

Palabras clave
GeoGebra; Tareas; Competencia; Cálculo; Ingeniería

Abstract

This article deals with the design and implementation of tasks with GeoGebra software in the mathematics classroom of engineering courses and the competency development involved when students perform them. As for the tasks, they were categorized into four levels according to their cognitive demand, the student-software interaction, and the relationship between mathematical concepts that each one proposes. Through a teaching experiment in a Calculus I commission, we analyzed the influence of GeoGebra on the development of mathematical competence in tasks of different levels, two of which are presented in this work. The analysis of the results reveals that, in the tasks with medium cognitive demand and guided instructions for their resolution, it is possible to evidence specific mathematical abilities developed by the students. However, the result is adverse in those where the cognitive demand and student-software interaction is high. The students did little exploration in order to conjecture and did not formally justify what they were able to visualize with the software. This evidenced a low competency performance in this type of task and highlights the relevance of social interaction in the classroom and the teacher's guidance.

Keywords
GeoGebra; Tasks; Competence; Calculo; Engineering

1 Introducción

Este artículo trata sobre la implementación de tecnología en el aula de matemática universitaria a través de tareas con el software GeoGebra (GG). Forma parte de una investigación cuyo objetivo general es analizar qué tipo de tareas diseñar para que el alumno gradualmente incorpore el software a su actividad matemática sin necesidad de la guía del profesor. Se centra en la implementación de tareas con diferentes niveles de demanda cognitiva y en las capacidades fundamentales puestas en juego cuando los alumnos las realizan.

Diversas investigaciones dan cuenta de las ventajas que trae la incorporación de las TIC al aula (Jácome Anaya; Fiallo Leal; Parada Rico, 2022; Rubio-Pizzorno et al., 2019; Gonzáles et al., 2018; Wassie; Zergaw, 2018). En cuanto a estudios en habla hispana, Cenas Chacón et al. (2021) realizaron una revisión de artículos sobre el uso del software GG en las clases de matemática de estudiantes universitarios. La búsqueda se limitó a estudios de no más de cinco años de antigüedad, que den cuenta de publicaciones en revistas indexadas y que se refieran al aprendizaje significativo de los alumnos. Encontraron 21 artículos de los cuales pudieron extraer, como conclusión general, que la mayor utilidad de GG es que le permite al alumno la comprensión y el descubrimiento de nociones a través de la visualización de imágenes y organización de datos y el análisis, de manera más detallada, de contenidos matemáticos en menor tiempo. Esto favorece a que se centre luego en procesos de reflexión, de razonamiento y de resolución de problemas.

Leal Ramírez, Lezcano Rodríguez y Gilbert Benítez (2021) recopilaron de diversas bases de datos artículos sobre uso de GG en el aula de matemática, que se publicaron entre mayo y octubre de 2020. En la mayoría se apreció que el software GG ofrece la gran ventaja de ser una herramienta innovadora para la enseñanza de las matemáticas, ya que permite crear distintos tipos de actividades y disminuir la monotonía habitual del proceso docente. También, es un programa que incluye la representación visual y el cálculo algebraico, lo que posibilita trabajar en varios registros en forma simultánea, tiene gran potencia para manejar variables y su interfaz es clara y accesible.

Por su parte, Wassie y Zergaw (2018) seleccionaron artículos en revistas indexadas, conferencias e informes técnicos, desde 2002 a 2018, revisados por pares y publicados en inglés. Los ubicaron en cuatro categorías: (a) enseñanza y aprendizaje de matemáticas, (b) enseñar y aprender en disciplinas afines; (c) fomentar el interés y los logros de los estudiantes; y (d) percepción de los usuarios sobre la relevancia de GG. Como reflexión general indican que la integración inteligente de este software en un aula adecuada crea un entorno flexible que involucra a los estudiantes y mejora el aprendizaje cooperativo. Además, señalan que se están llevando a cabo estudios a gran escala sobre los posibles efectos de GG en el logro de los estudiantes y sobre los conocimientos pedagógicos necesarios para integrarse efectivamente.

A pesar de esto, la Educación Matemática sigue demandando estudios empíricos sobre cómo implementar el software para lograr aprendizaje en los estudiantes (García López; Romero Albaladejo; Gil Cuadra, 2021, Wassie; Zergaw, 2018). El aporte sobre la forma de integrar GG con éxito en las clases de matemática, explorando su potencialidad, resulta pertinente para la comunidad científica, por una parte, pero también para la comunidad educativa que desee desarrollar y evaluar experiencias de aula innovadoras basadas en el uso de tecnologías.

Se comenzó un estudio indagando el tipo de tareas con GG que se diseñan e implementan a nivel universitario. Se encontró que, muchas de éstas, consisten en un applet elaborado por el docente o una serie de preguntas en las que se le indica al alumno qué acciones realizar con el programa. Tratan sobre algún tema particular de la asignatura y, en general, son tareas aisladas, es decir, que no perduran en la cursada de la materia en cuestión.

Estas actividades son muy valiosas, pero dadas las potencialidades que tiene GG surge como inquietud si, luego de que el estudiante realiza tareas con las características descriptas anteriormente, es capaz de efectuar otro tipo de manipulación con el software y resolver tareas con demanda cognitiva más alta. Se tiene como pregunta guía: ¿qué tipo de tareas diseñar para que el alumno gradualmente incorpore el software a su actividad matemática sin necesidad de realizar los pasos que le indica el profesor? Se procura que el estudiante ante un problema o ejercicio, por sí mismo (sin una guía del docente) realice acciones con GG que le permitan comprender la consigna del ejercicio, resolverlo o conjeturar sobre distintas situaciones. Es un gran desafío ya que se tiene que introducir al alumno en el uso de GG a través de recursos para que lo comience a incorporar como herramienta de trabajo y luego tratar, de cierta manera, que ese uso se haga cotidiano y que vaya más allá de graficar.

En la cátedra de Análisis Matemático I de carreras de ingeniería se inició una investigación en la que se tiene como objetivo diseñar e implementar tareas con GG con el propósito anteriormente planteado.

A su vez, el marco teórico elegido para analizar y evaluar el aprendizaje matemático de los estudiantes luego de haber realizado las tareas con el software es el de competencia matemática (CONFEDI, 2018; OCDE, 2017; Lupiáñez; Rico, 2008). También, numerosos estudios corroboran el potencial del software GG para ayudar a los estudiantes a desarrollar capacidades fundamentales que aportan a tal competencia. Ejemplos de éstos son: García López, Romero Albaladejo y Gil Cuadra (2021) sobre competencia matemática general; Costa Llobet (2011) sobre matematización; Juárez-Ruiz, Sánchez González y Juárez López (2022), Barrera Mora y Reyes Rodríguez (2018) sobre manejo de representaciones y razonamiento; Romero y Camargo (2022) sobre elaboración de conjeturas; Gaona Jiménez y Guerrero Ramírez (2022), Granado Ortiz y Padilla Escorcia (2021) sobre modelización, entre otros.

En este artículo se presenta parte de un experimento de enseñanza (Molina et al., 2011) en el que se introduce el software GG en una de las comisiones de Análisis Matemático I para trabajar contenidos de la materia. La finalidad de la propuesta es incidir favorablemente en el desarrollo competencial de los estudiantes y en el uso cotidiano y flexible de la herramienta tecnológica.

2 Antecedentes

Como se explicó anteriormente, son numerosas las investigaciones y experiencias con uso de GG en el aula universitaria. Estas consisten en la implementación de actividades o tareas y su valoración acorde a un determinado marco teórico. En general, la intervención es esporádica o puntual, tal o cual momento con tal o cual tarea. Como indican Ballesteros Ballesteros, Lozano Forero y Rodríguez Cardozo (2020, p. 4) “aunque existe una gran variedad de resultados de investigación que evidencian una actitud positiva de los docentes frente a este tipo de recursos, se presenta un escenario paradójico que devela la integración precaria de software dinámico en los distintos niveles educativos”.

A continuación, se exponen algunos estudios o experiencias previas al que se presenta.

Ballesteros Ballesteros, Lozano Forero y Rodríguez Cardozo (2020) muestran los resultados de un proyecto cuyo propósito fue implementar una estrategia didáctica para la enseñanza de la noción de área bajo la curva, durante el desarrollo de un curso de cálculo integral, a partir de la aplicación móvil Calculadora Gráfica de GG. Se seleccionaron aleatoriamente noventa estudiantes de ingeniería y se los dividió en cuatro grupos: dos experimentales y dos grupos control. Se elaboraron dos unidades didácticas: una para los grupos control, que abordaron el concepto con calculadora científica tradicional; otra para los grupos experimentales, la cual incorporó GG. En cuanto al aprendizaje de los estudiantes, se los evaluó con un pretest y un postest a través de lo que los autores llaman conocimientos relativos a la integral definida. Los resultados señalaron que, en los dos grupos que tuvieron la intervención mediada por la aplicación móvil, el rendimiento en la prueba de salida fue estadísticamente superior a los obtenidos por aquellos grupos que tuvieron una intervención tradicional. A partir de esto los autores sugieren la utilidad de la incorporación de las tecnologías digitales en el aula para la presentación de conceptos matemáticos.

Rodríguez et al. (2020) proponen el tratamiento de las formas indeterminadas del límite a partir de la utilización del GG con fines heurísticos y de experimentación en la carrera de ingeniería industrial. Los autores consideran que se les da un tratamiento algebraico y que el alumno no comprende realmente su significado. Se realizaron ejercicios usando GG como recurso heurístico, con dispositivos móviles, en forma presencial y con guía del docente. Estos ejercicios consistieron en pasos guiados para graficar funciones, estudiar su comportamiento cercano a un punto o con tendencia a infinito y responder ciertas preguntas al respecto. Luego se brindó otro ejercicio guiado para estudiar en forma independiente otras indeterminaciones. Los autores concluyeron que los resultados de las pruebas realizadas, antes y después de aplicada la propuesta, constatan una mejora en la comprensión de las formas indeterminadas del límite y en el cálculo de límites en general.

García Cuéllar; Martínez Miraval, Flores Salazar (2018) reportan parte de un estudio que tuvo como objetivo analizar la génesis instrumental de la noción de razón de cambio instantánea mediada por GG en estudiantes de administración de una universidad de Perú. Para esto diseñaron dos actividades en applet en GG en base a deslizadores. En la primera, el estudiante tiene que manipular un deslizador que acerca un punto B de una curva a un punto A fijo. Se observa la recta secante, los puntos y la pendiente de ésta. En lápiz y papel debe completar una tabla con los valores de la pendiente y contestar preguntas sobre la tendencia de dicho cociente incremental. En la segunda actividad se muestra una función que modela la utilidad de una empresa en el tiempo y un punto de esta curva con su recta tangente y pendiente que se mueve a través de un deslizador. Luego se realizan preguntas sobre el aumento o disminución de la utilidad de la empresa. Se concluyó que el GG contribuyó en el aprendizaje de la razón de cambio instantánea por las características de sus herramientas, especialmente, el arrastre y los deslizadores.

Gonzáles et al. (2018) realizaron dos actividades cuyo propósito fue que los estudiantes construyan el concepto de recta tangente a la gráfica de la función en el punto fijo seleccionado y la identifiquen como la tasa de variación instantánea. La primera actividad consistió en estudiar el volumen de agua que hay en un tanque que se está llenando a velocidad constante y, a su vez, vaciando también con velocidad constante. Mediante acciones guiadas para realizar en GG (defina la función, marque puntos de la gráfica para que quede visualizada la variación media, use el comando pendiente de la recta) la actividad tiene como objetivo que los estudiantes perciban la tasa de variación de la función volumen respecto al tiempo transcurrido y la relacionen con la pendiente de la recta planteada. La segunda actividad trató sobre el movimiento de una moto, modelado mediante una función homográfica. A través de acciones guiadas, indican al alumno graficar en GG la variación media en un intervalo determinado a través de un punto fijo y uno variable. También utilizaron el comando pendiente para relacionar este concepto con el anterior y acercan el punto variable al fijo para estudiar el comportamiento. Para analizar el significado de los estudiantes con respecto al objeto matemático derivada, tuvieron en cuenta la Teoría de Registros de Representación Semiótica.

Un artículo muy ligado a lo que se reporta aquí es el de García López, Romero Albaladejo y Gil Cuadra (2021), quienes analizaron la influencia del software GG en el desarrollo de la competencia matemática del alumnado y en la actitud hacia la matemática. Diseñaron dos secuencias de tareas, la primera para ser desarrollada en lápiz y papel y con elementos de dibujo tradicionales y la segunda para ser abordada con GG. Realizaron trece sesiones en lápiz y papel y doce en GG, en las cuales los alumnos trabajaron en parejas y con tareas contextualizadas. Para la observación del desarrollo competencial se utilizaron lo que los autores llaman parrillas de observación, elaboradas específicamente para cada tarea, las producciones de resolución de los alumnos entregadas por parejas y las observaciones del diario de clase que completaba uno de los investigadores. Una de las conclusiones extraídas es que GG proporcionó soporte a los estudiantes para alcanzar un buen nivel de desempeño en las capacidades ligadas a la visualización, la construcción y el manejo de representaciones. Esto les permitió involucrarse en procesos más complejos de comunicación, matematización y resolución de problemas con sus compañeros.

3 Marco teórico

3.1 Sobre el software GeoGebra

GG es uno de los softwares de geometría dinámica más divulgado en las últimas dos décadas como herramienta complementaria para la enseñanza de la matemática que tiene la ventaja de ser de código abierto y adaptable a todos los niveles educativos (Campos Nava; Torres Rodríguez, 2018). Incluye álgebra, geometría, cálculo, estadística, hoja de cálculo, gráficos con la posibilidad de incorporar actividades dinámicas. Su interfaz es de fácil uso (Rojas-Bello, 2020). A su vez, ofrece a los docentes la oportunidad de crear materiales de aprendizaje interactivos como páginas web o applets, por lo que también es una herramienta de autoría.

Se ha convertido en una comunidad con millones de usuarios en casi todos los países del mundo en la que comparten sus recursos y experiencias en apoyo a la educación en ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas. Esto contribuye a la innovación en la enseñanza y aprendizaje en casi todas las latitudes (GeoGebra, 2020).

Además, GG brinda una serie de aplicaciones para usar en el celular que son gratuitas y disponibles para iOS, Android, Windows, Mac, Chromebook y Linux, lo que asegura la utilización en diversos dispositivos.

A esto se agrega que cumple con el estándar ISO 9126 que lo evalúa en funcionalidad, eficiencia, usabilidad, confiabilidad, mantenibilidad y portabilidad (Castro Acosta, 2018).

3.2 Tareas matemáticas

Las tareas son uno de los recursos más importantes que tiene el profesor para lograr que los alumnos entiendan los conceptos matemáticos (Campos Nava; Torres Rodríguez, 2018). Para Groenwald (2021) la tarea matemática es una actividad que involucra a los estudiantes con contenido matemático conformando un vehículo importante para el desarrollo de la capacidad de pensar y razonar matemáticamente.

Pochulu y Font Moll (2022) entienden por tarea matemática a toda situación de aprendizaje propuesta por el profesor como detonante de la actividad matemática del estudiante la cual está formada por una secuencia de momentos didácticos, los que incluyen desde la planificación de las actividades hasta los procesos comunicativos y la resolución.

En cuanto a las tareas con software, Sosa, Aparicio y Tuyub (2008) sugieren que para diseñarlas es conveniente aprovechar las posibilidades de usar tablas, crear gráficos, construir funciones y verificar cálculos; de tal manera que los alumnos puedan experimentar con los objetos matemáticos, analizando las propiedades y características de diferentes situaciones. Estos autores también aconsejan incentivar el uso de múltiples registros de representación semiótica de un mismo objeto matemático y facilitar el proceso de visualización matemática, fomentar la experimentación y exploración, y luego arribar a conclusiones, establecer conjeturas y generar argumentos.

Entre las conclusiones de uno de los grupos del Centro Internacional de Encuentros Matemáticos, CIEM, (Muñoz-Escolano, 2016) sobre tareas con GeoGebra se recomienda que tengan dos momentos: el primero exploratorio para favorecer la comprensión de la tarea y la aplicación eficaz de la técnica; y un momento posterior que consista en la resolución con lápiz y papel para ayudar a la consolidación de la técnica y a los procesos de argumentación.

3.2.1 Clasificación a través de niveles de dificultad

Se toma la postura de Groenwald (2021) que, citando a Smith y Stein (1998), clasifica las tareas acordes a su demanda cognitiva en:

• ✓ Nivel 1: consisten en reproducir fórmulas, reglas y procedimientos ya aprendidos o ya establecidos. No son ambiguas, implican reproducir con exactitud algo visto anteriormente.

• ✓ Nivel 2: son algorítmicas. Utilizan procedimientos cuyo uso es obvio acorde a la información dada. No requieren explicaciones.

• ✓ Nivel 3: se usan procedimientos con el fin de lograr la comprensión en el estudiante. Se utilizan diferentes representaciones (gráfica, analítica etc.) y los alumnos deben involucrarse con ideas conceptuales.

• ✓ Nivel 4: apelan a un pensamiento complejo y no algorítmico. Requieren que los estudiantes exploren y comprendan procesos matemáticos, que verifiquen, que comuniquen las ideas producidas.

3.3 Competencia matemática. Capacidades fundamentales

El aprendizaje de los estudiantes se analiza a través del desarrollo de la competencia matemática (CONFEDI, 2018; Lupiáñez y Rico, 2008; OCDE, 2017). “La competencia matemática es la capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas en distintos contextos. Incluye razonar matemáticamente y utilizar conceptos, procedimientos, herramientas y hechos matemáticos para describir, explicar y predecir fenómenos” (OCDE, 2017, p. 64). Esta competencia global se articula con siete capacidades fundamentales: comunicación, matematización, representación, razonamiento y argumentación, diseño de estrategias para resolver problemas, uso de operaciones y lenguaje simbólico, y uso de herramientas.

Se definen las que se usan en este artículo:

• ✓ Comunicación (C): la lectura e interpretación de enunciados, preguntas, tareas u objetos le permite al estudiante formar un modelo mental de la situación. Durante el proceso de resolución, puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios o finales.

• ✓ Representación (R): la competencia matemática suele implicar la selección, interpretación, traducción y la utilización de una variedad de representaciones (gráficos, tablas, diagramas, imágenes, materiales concretos, fórmulas y ecuaciones) para plasmar una situación, interactuar con un problema o para presentar un trabajo propio.

• ✓ Razonamiento y argumentación (RA): implica procesos de pensamiento que exploran y conectan los elementos del problema para realizar inferencias a partir de ellos, comprobar una justificación dada, o proporcionar una justificación de los enunciados o soluciones a los problemas.

• ✓ Utilización de operaciones y lenguaje simbólico y formal (UOL): implica la comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones simbólicas en un contexto matemático y utilización de constructos formales basados en definiciones, reglas y propiedades.

• ✓ Uso de herramienta (UH): implica conocer y saber utilizar herramientas (físicas o tecnológicas) como ayuda a la actividad matemática y ser conscientes de sus limitaciones.

4 Metodología

El estudio estuvo guiado por las siguientes preguntas: ¿qué tipo de tareas diseñar para que el alumno gradualmente incorpore el software a su actividad matemática sin necesidad de realizar los pasos que le indica el profesor? ¿cómo influye ese trabajo con GG en la competencia matemática de los estudiantes?

La metodología adoptada fue un experimento de enseñanza (Molina et al., 2011) realizado en una comisión de Análisis Matemático I del turno mañana en el primer cuatrimestre de 2023, formada por 67 estudiantes y a cargo de dos docentes, uno de ellos participante en la investigación. Esta materia es cuatrimestral, de cuatro horas por semana, y contempla los temas: funciones, límite funcional, asíntotas, continuidad, derivada, diferencial y polinomios de Taylor. Se evalúa por parciales y se acredita con régimen de promoción o de examen final.

En la primera etapa se analizaron diversas tareas matemáticas con uso de GG en otros estudios y en propios. En particular se estudió la demanda cognitiva de la tarea acorde al marco teórico y el tipo de interacción alumno-software. Se entiende por esto último al conjunto de acciones llevadas a cabo por el estudiante cuando utiliza el programa.

Como resultado de esta etapa se obtuvo la siguiente clasificación:

✓ Nivel 1: consisten en actividades donde el docente, junto a los alumnos, reproduce fórmulas, reglas y procedimientos, explica algún concepto nuevo usando el software a través del televisor del aula o computadora. Los estudiantes lo pueden seguir (o no) en sus dispositivos móviles. No son ambiguas. La interacción alumno-software es casi nula, se limita a hacer lo que dice el profesor o mira lo que éste hace en el televisor del aula.

✓ Nivel 2: son algorítmicas. Utilizan procedimientos cuyo uso es obvio acorde a la información dada. No requieren explicaciones. La interacción alumno-software consiste en utilizar algún comando conocido.

✓ Nivel 3: se usan procedimientos con el fin de lograr la comprensión en el estudiante. Se utilizan diferentes representaciones (gráfica, analítica etc.) y los alumnos deben involucrarse con ideas conceptuales a través de pasos guiados por la consigna de la tarea o un applet diseñado por el docente. La interacción alumno-software es guiada por una consigna o por un applet.

✓ Nivel 4: requieren un pensamiento complejo y no algorítmico. Demandan que los estudiantes exploren diversas situaciones con el software, comprendan procesos matemáticos, relacionen conceptos estudiados, que verifiquen y que comuniquen las ideas producidas. La interacción alumno-software es alta, no se le indica lo que debe hacer para poder resolverlas.

Luego, en una segunda etapa, se diseñaron tareas de distinto nivel que contemplaron tanto acciones con el software como en lápiz y papel. Se elaboraron con el objetivo de influir positivamente en el desarrollo de la competencia matemática y en el uso flexible de esta herramienta.

Los ejemplos de tareas dados en el presente artículo corresponden a la unidad 1 de funciones. Las tareas de nivel 1 se realizaron en el aula y consistieron, por ejemplo, en la presentación del programa, el uso de los primeros comandos, las posibilidades de configuración, la definición de funciones por trozos, el uso del deslizador, entre otras. Esto se hizo a través del televisor del aula y de los dispositivos móviles de los alumnos. Las tareas algorítmicas de nivel 2 se hicieron en clase y consistieron en realizar cálculos, graficar, hallar raíces de funciones, intervalos de positividad y negatividad etc. Las tareas de estos niveles ayudan al estudiante a familiarizarse con la herramienta, su interfaz y sus comandos. Las tareas de nivel 3 y 4 fueron realizadas individualmente y en forma particular. Las consignas y las producciones de los alumnos fueron entregadas por mensajería en la plataforma de la universidad. El plazo de entrega fue de una semana (ejemplos de éstas en puntos 4.1 y 4.2, respectivamente).

4.1 Tarea 1. Nivel 3

En la Figura 1 se presenta la consigna.

Figura 1
– Presentación de la Tarea de Nivel 3

Se considera que esta tarea es de nivel 3. En efecto: se utilizan diferentes representaciones (registro tabular, gráfico y representación analítica), los alumnos se involucran con un problema de ajuste de puntos mediante una consigna guiada, deben utilizar procedimientos conocidos y conceptos estudiados: el de proporcionalidad, el de variación en un modelo lineal y el de función inversa. Se combinan acciones en lápiz y papel para justificar analíticamente lo visto en GG. En el Cuadro 1 se analizan capacidades específicas que promueve la tarea y se aclara a qué capacidad fundamental contribuye:

Cuadro 1
Capacidades específicas y fundamentales de la tarea 1

Capacidad específica	Capacidad fundamental
Identifica variable independiente y dependiente	C
Escribe las unidades	C
Arma la hoja de cálculo en GG	UH
Crea la lista de puntos	UH
Determina el valor de verdad de la proposición dada	R
Justifica la respuesta	RA
Utiliza el comando Ajuste Lineal	UH
Determina función escribiendo dominio e imagen bajo contexto y regla de asignación	UOL
Grafica en GeoGebra en contexto	UH
Calcula imagen de 300 gramos usando GG	UH
Justifica la respuesta	RA
Calcula la variación del estiramiento en intervalos de 50 gramos	UH
Relaciona este valor con el modelo	RA
Halla, usando GG, la función inversa	UH
Interpreta la función inversa bajo el contexto del problema	C

Fuente: elaboración propia

4.2 Tarea 2. Nivel 4

Se muestra la consigna en la Figura 2.

Figura 2
– Presentación de la Tarea de Nível 4

Se considera que esta tarea tiene un nivel 4 en cuanto a su demanda cognitiva e interacción alumno-software. En efecto, requiere que los estudiantes exploren diversas situaciones con el software en forma libre (no pautada), comprendan y relacionen conceptos matemáticos, que verifiquen y que comuniquen las ideas producidas. A su vez existe primero una etapa de manipulación y visualización con el programa, otra de establecer conjeturas y una última, en entorno de lápiz y papel, para formalizar lo analizado.

En los Cuadros 2, 3 y 4 se analizan capacidades específicas que promueve la tarea y se aclara a qué capacidad fundamental contribuye:

Cuadro 2
Capacidades específicas y fundamentales de la tarea 2

Capacidad específica (función par) Archivos en GG	Capacidad fundamental
Ingresa en GG una función par conocida	UH
Define un deslizador	UH
Ingresa otra función para definir la traslación horizontal o vertical	UOL y UH
Prueba con algún valor particular de c	UH/RA
Repite el procedimiento con otra función par	UH/RA
Usa más de dos funciones	UH/RA
Ingresa f(-x) para comparar con f(x)	UH/R/RA

Fuente: elaboración propia (2023)

Cuadro 3
Capacidades específicas y fundamentales de la tarea 2

Capacidad específica (función impar) Archivos en GG	Capacidad fundamental
Ingresa en GG una función impar conocida	UH
Define un deslizador	UH
Ingresa otra función para definir la traslación horizontal o vertical	UOL/ UH
Prueba con algún valor particular de c	UH/RA
Repite el procedimiento con otra función impar	UH/RA
Usa más de dos funciones	UH/RA
Ingresa f(-x) para comparar con f(x)	UH/R//RA

Fuente: elaboración propia (2023)

Cuadro 4
Capacidades específicas y fundamentales de la tarea 2

Capacidad específica. Archivo en lápiz y papel	Capacidad fundamental
Escribe alguna conclusión sobre lo observado en función par (o impar)	RA/C
Demuestra la simetría de las funciones pares trasladadas verticalmente	RA/UOL
Muestra, a través de un ejemplo, la no simetría de las funciones pares (o impares) trasladadas horizontalmente	RA/UOL
Hace la demostración genérica mostrando que no se cumple la igualdad ni de paridad ni de imparidad para una función par (o impar) trasladada horizontalmente	RA/UOL
Muestra, a través de un ejemplo, la no simetría de las funciones impares trasladadas verticalmente	RA/UOL
Hace la demostración genérica, mostrando que no se cumple la igualdad ni de la paridad ni de la imparidad para funciones impares trasladadas verticalmente	RA/UOL

• Fuente: elaboración propia (2023)

5 Resultados

Se presentan los resultados obtenidos en estas dos tareas presentadas. Se valoraron las producciones en lápiz y papel, y el archivo en formato ggb entregado por cada alumno mediante una rúbrica elaborada por el equipo de investigación acorde a los cuadros de análisis preliminar de capacidades específicas/fundamentales. Se recopilaron 63 producciones.

5.1 Resultados tarea 1

Las capacidades específicas definidas en el Cuadro 1 se valoraron con B (bien), R (regular), M (mal) y No (no lo hace), acorde a la rúbrica mencionada anteriormente. También se tuvieron en cuenta algunas consideraciones como:

• ✓ En el caso de establecer si es verdadera o falsa la proposición que indica que las variables son directamente proporcionales se consideró como respuesta correcta (B) a aquella que es coherente entre la decisión y la justificación (ítem d). Esto es: si el estudiante indicó que era falsa por el hecho que el ajuste lineal le brindaba un valor de ordenada al origen no nulo, se tomó como B (bien). Se entiende que al alumno le costó interpretar que los datos son experimentales y que el modelo que se obtiene se debe adaptar a los mismos.

• ✓ Cuando el estudiante graficó la función y su inversa fuera de contexto se valoró como regular (R).

• ✓ En cuanto al cálculo de la imagen de 300 gramos, varios alumnos no la hallaron porque justificaron que ese valor está fuera del contexto del problema. Justificación que se tomó como correcta (B). Otros contestaron que si ese valor estuviese en el contexto entonces su imagen se podía calcular y brindaron su valor.

• ✓ Cuando el alumno definió la función como terna con ordenada al origen no nula se valoró con regular (R) y con bien (B) la función inversa, ya que el error que arrastra es el del concepto de proporcionalidad, no el de inversa.

Para analizar gráficamente los resultados, se dividieron las capacidades fundamentales en dos: las asociadas a UH por un lado y las demás por el otro (Figura 3). A saber:

Figura 3
– Resultados Tarea 1 referido a UH

Se observa un buen rendimiento en todas las capacidades específicas en la mayoría de los alumnos, con niveles altos superiores al 80%. Como se aclaró anteriormente, algunos alumnos no realizaron el cálculo de la imagen de 300 gramos argumentando que este valor no se encontraba en el dominio bajo contexto. Es la capacidad específica que tiene menor porcentaje de B (bien) y mayor porcentaje de No contesta (Figura 4).

Figura 4
– Resultados Tarea 1 referido a las demás capacidades fundamentales

Con porcentajes mayores o iguales al 74% se tiene un buen nivel de desempeño en identificar las variables con sus unidades, determinar el valor de verdad de la proposición que se refería a la proporcionalidad de las variables y justificar si se podía calcular o no la imagen de 300 gramos. Luego con un porcentaje entre 50% y 60% los estudiantes justificaron bien la decisión tomada en cuanto a la falsedad o veracidad de la afirmación de proporcionalidad, escribieron bien la terna de la función en contexto, relacionaron la variación del estiramiento con el modelo de proporcionalidad e interpretaron la función inversa bajo contexto. El porcentaje más bajo de buen desempeño lo tiene la capacidad específica de calcular la variación del estiramiento, ya que muchos alumnos hallaron la razón de cambio media u omitieron las unidades.

5.2 Resultados tarea 2

En la Figura 5 se muestran los resultados de la tarea 2 respecto al análisis preliminar del Cuadro 2:

Figura 5
– Resultados Tarea 2 referido capacidades fundamentales analizadas en el Cuadro 2

Casi la totalidad de los alumnos ingresó una función par conocida (la mayoría $y=x^2$), definió un deslizador para poder realizar las traslaciones e ingresa otra función de la forma $y=f\left(x\right)+\text{o o}y=f(x-c)$ para la traslación vertical u horizontal respectivamente. La mayoría de los alumnos no probó con otra función par, ni estudió un valor particular del parámetro ni compara $f\left(x\right)\mathrm{con}f(-x)$. Prácticamente los mismos resultados se obtuvieron para la función impar, siendo la más utilizada $y=x^3$. Se muestra el archivo en formato ggb de uno de los estudiantes (Figura 6).

Figura 6
– Archivo de un estudiante que trabajó con $f\left(x\right)=|x|;g\left(x\right)=x^3$

En la Figura 7 se presentan los resultados relativos a las producciones en lápiz y papel cuyo análisis preliminar se encuentra en el Cuadro 4.

Figura 7
– Resultados Tarea 2 referido capacidades fundamentales analizadas en el Cuadro 4

Aproximadamente la mitad de los estudiantes escribió en forma correcta las conclusiones referidas a las traslaciones verticales y horizontales de una función par e impar, siendo muy pocos los que fundamentaron esta conclusión. Es decir, la mayoría se limitó a describir lo que veían. Ejemplo de esto se muestra en la siguiente producción de un estudiante (Figura 8).

Figura 8
– Producción de un estudiante donde escribe en forma correcta las conclusiones sobre lo observado en GG pero no las justifica

Como se dijo anteriormente, los resultados fueron pocos satisfactorios a la hora de argumentar esas conclusiones. Sólo un 11% de los alumnos demostró en forma genérica que la traslación vertical de una función par conserva esa simetría. Un 6% mostró a través de un contraejemplo que la simetría no se conserva si la función se traslada horizontalmente y un 13% lo hizo comparando $f\left(x\right)\text{y}f(-x)$. Se exponen estos comportamientos en las siguientes producciones de dos alumnos (Figuras 9 y 10).

Figura 9
– Producción de un estudiante que prueba en forma genérica la paridad de una función par trasladada en forma vertical

Figura 10
– Producción de un estudiante donde, tomando como ejemplo la función $f\left(x\right)=x^2$, demuestra la no simetría de una traslación horizontal de dicha función

Respecto a la función impar, se mantienen alrededor de un 10% bien el planteo de un contraejemplo y en un 15% la comparación de $f\left(x\right)yf(-x)$. Se muestra esta situación en una de las producciones de un estudiante (Figura 11).

Figura 11
– Producción de un alumno donde, tomando como ejemplo la función $g\left(x\right)=x^3$, demuestra la no simetría en las dos traslaciones planteadas

6 Conclusiones

Si se mira los porcentajes de B (bien) en las capacidades específicas ligadas a la capacidad fundamental UH de la tarea de nivel 1, dichos valores superan el 85%. Entonces, globalmente esta capacidad está bien desarrollada en los estudiantes en esta tarea, pero no hay que perder de vista que las acciones a realizar las daba la consigna guiada de la misma.

En cuanto a las demás capacidades fundamentales involucradas (Cuadro 1) tienen porcentajes más bajos de desarrollo que la UH, pero superiores al 50%. Si bien son porcentajes altos, del análisis cualitativo de cada producción se pudo observar que la mayor dificultad fue poder acomodar el ajuste que daba el software al modelo proporcional. A su vez, muchos estudiantes evidenciaron el problema de trabajar con datos experimentales y un modelo de ajuste. Cuestiones que discrepan de lo obtenido en otros estudios (Bejarano Arias; Ortiz Buitrago, 2017; Pavón Gómez; Nieto Sánchez; Gómez Colmenares, 2015).

En toda la bibliografía se encuentra la potencialidad del software para explorar distintas situaciones. Como indican Bayazit y Aksoy (2010), la ventana algebraica se actualiza inmediatamente en la gráfica, característica que permite comprender los vínculos conceptuales entre las representaciones de un concepto matemático. En la tarea 2 de nivel 4 la exploración la hacía el alumno sin una guía del docente. Se pudo dar cuenta que para la mayoría de los estudiantes un solo ejemplo fue suficiente para sacar una conclusión verdadera para todas las funciones (función par). Esto es, se produjo esa comprensión y la elaboración de conjetura (Gaona Jimenez; Guerrero Ramírez, 2022) pero no así la exploración ni la justificación formal matemática que sólo consistía en usar el concepto de función par y traslación vertical. Esta falta de argumentación también sucedió con los otros casos. Si bien los alumnos escribían bien las conclusiones no dieron contraejemplo o no lo demostraron en forma genérica con las definiciones pertinentes. Se coincide con Ríos Cuesta (2023) que afirma que a los estudiantes les resulta difícil presentar un argumento válido como resultado de una tarea.

Cervantes-Barraza; Cabañas-Sánchez y Ordóñez Cuastumal (2017) destacan que los estudiantes utilizan argumentos esquemáticos que están asociados con la visualización del objeto de estudian, pero carecen de sustento matemático. Los alumnos se alejan del formalismo de las matemáticas, cuestión que también se evidencia en este estudio.

En un análisis cualitativo de los archivos de GG entregados por los estudiantes, se pudo notar que trabajaron por default, esto es tal cual lo da el software. La mayoría no cambió configuraciones para presentar mejor el trabajo o agregó texto para que el docente que evaluaba pueda comprender mejor lo realizado, o cambió los parámetros del deslizador para observar más específicamente las situaciones. Respecto a las funciones ingresadas, la mayoría trabajó con $f\left(x\right)=x^2$ para el caso par y $f\left(x\right)=x^3$ para el caso impar.

La escasa exploración que se evidencia en las producciones de los estudiantes, sumada a la falta de fundamentación muestran la relevancia de la interacción social en el aula y de la guía del docente. Aparentemente, se requiere un trabajo guiado más intenso que el propuesto para que el alumno logre por sí mismo resolver un problema sin acciones pautadas. Se reconoce que en el aula se trabajó con tareas de nivel 1, 2 y 3. En un futuro se incorporará alguna tarea que incluya ítems en los cuales los alumnos deban justificar, en lápiz y papel, lo realizado en el software; como así también, conjeturar sobre diferentes situaciones al variar algún parámetro en particular.

Como indica OCDE (2005, p. 9) usar las herramientas de forma interactiva requiere algo más que el simple acceso a la herramienta y la habilidad técnica requerida para manejar la situación. Esto implica comprender la manera en que uno puede interactuar y cómo puede usarse para alcanzar las metas planteadas. En este sentido, continúa: “una herramienta no es solamente un mediador pasivo, es un instrumento para un diálogo activo entre el individuo y su ambiente”.

Referencias

• BALLESTEROS BALLESTEROS, V. A.; LOZANO FORERO, S.; RODRÍGUEZ CARDOZO, O. I. Noción de aproximación del área bajo una curva utilizando la aplicación Calculadora Gráfica de GeoGebra. Praxis & Saber, Tunja Boyacá, v. 11, n. 26, 2020.
• BARRERA MORA, F; REYES RODRIGUEZ, A. El rol de la tecnología en el desarrollo de entendimiento matemático vía la resolución de problemas. Educatio Siglo XXI, Murcia, v. 36, n. 3, p. 41-72, 2018.
• BAYAZIT, I.; AKSOY, Y. Connecting Representations and Mathematical Ideas with GeoGebra. GeoGebra: The New Language for the Third Milennium, Timisoara, v. 1, n. 1, p. 93-106, 2010.
• BEJARANO ARIAS, M.L.; ORTIZ BUITRAGO, J. Modelización matemática y GeoGebra en el estudio de funciones. Una experiencia con estudiantes de ingeniería. Revista Ciencias de la educación, Carabobo, v. 50, [s. n], p. 348-379, 2017.
• CAMPOS NAVA, M.; TORRES RODRÍGUEZ, A. A. Diseño de Tareas de Aprendizaje Matemático con GeoGebra: Mecanismos Articulados. Pädi. Boletín Científico del Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, El Álamo, v. 10, [s.n.], p. 80-85, 2018.
• CASTRO ACOSTA, J.R. Informe de aplicación de tres modelos de evaluación a una RED. 2018. 15 f. Monografía (Especialización en Aplicación de TIC para la Enseñanza) - Universidad de Santander, Santiago Apóstol, 2018. Disponible en: https://pdfcoffee.com/qdownload/ilovepdf-merged-16-pdf-free.html 2018. Acceso en: 12 de diciembre de 2023.
  » https://pdfcoffee.com/qdownload/ilovepdf-merged-16-pdf-free.html
• CENAS CHACÓN, F. Y; GAMBOA FERRER, L. R.; BLAZ FERNÁNDEZ, F. E.; CASTRO MENDOCILLA, W. E. GeoGebra: herramienta tecnológica para el aprendizaje significativo de las matemáticas en universitarios. Horizontes. Revista de Investigación en Ciencias de la Educación, La Paz, v. 5, n. 18, p. 382-390, 2021.
• CERVANTES-BARRAZA, J.; CABAÑAS-SÁNCHEZ, G.; ORDÓÑEZ CUASTUMAL, J. S. El poder persuasivo de la refutación en las argumentaciones colectivas. Bolema, Río Claro, v. 31, n. 59, p. 861-879, 2017.
• Consejo Federal de Decanos de Ingeniería - CONFEDI. Propuesta de estándares de segunda generación para la acreditación de carreras de ingeniería en La República Argentina "libro rojo de CONFEDI ". Rosario, Universidad FASTA Ediciones, 2018.
• COSTA LLOBET, J. Plataforma de matematización en un entorno GeoGebra dentro de un planteamiento didáctico "desde abajo hacia arriba". Enseñanza de las ciencias, Barcelona, v. 29, n. 1, p. 101-114, 2011.
• GAONA JIMÉNEZ, S. M.; GUERRERO RAMÍREZ, S. L. GeoGebra para el aprendizaje de modelización matemática en ingeniería: estudio de caso (modalidad en línea). Ride. Revista Iberoamericana para la investigación y el desarrollo educativo, Guadalajara, v. 12, n. 24, 2022.
• GARCÍA CUÉLLAR, D.; MARTÍNEZ MIRAVAL, M.; FLORES SALAZAR, J. Genesis instrumental de la razón de cambio instantánea mediada por GeoGebra. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, México, v. 31, n. 2, p. 1876-1883, 2018.
• GARCÍA LÓPEZ, M; ROMERO ALBALADEJO, I.; GIL CUADRA, F. Efectos de trabajar con GeoGebra en el aula en la relación afecto-cognición. Enseñanza de las Ciencias, Barcelona, v. 39, n. 3, p. 177-198, 2021.
• GEOGEBRA. ¿Qué es GeoGebra? Disponible en: https://www.geogebra.org/about, 2020. Acceso en: 2 de mayo de 2024.
  » https://www.geogebra.org/about
• GONZÁLES, C.; VIGO, K.; SARAVIA, N.; ADVÍNCULA, E. Una secuencia didáctica para la comprensión del concepto de derivada mediada por el software GeoGebra. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, México, v. 31, n. 2, p. 1352-1358, 2018.
• GRANADO ORTIZ, C. A.; PADILLA ESCORCIA, I.A. El aprendizaje gráfico de la recta tangente a través de la modelación de las secciones cónicas utilizando GeoGebra. Revista Científica, Bogotá, v. 40, n. 1, p.118-132, 2021.
• GROENWALD, C.L.O. Educación Matemática y Tecnología: planificación de tareas de investigación centradas en el aprendizaje de los estudiantes. Union. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, Andujar (España), v. 63, [s.n.], p. 1- 16, 2021.
• JÁCOME ANAYA, I.; FIALLO LEAL, J.; PARADA RICO, S. Un acercamiento al TFC a través de la matemática realista. Educación Matemática, México, v. 34, n. 1, p. 280-305, 2022.
• JUÁREZ-RUIZ, E.; SÁNCHEZ GONZÁLEZ, L.; JUÁREZ LÓPEZ, J.A. Identificación del desarrollo de habilidades visuales espaciales en representaciones y conversión entre registros para calcular volúmenes. Educación Matemática, México, v. 34, n. 1, p. 157-185, 2022.
• LEAL RAMÍREZ, S.; LEZCANO RODRÍGUEZ, L. E. Y GILBERT BENÍTEZ, E. M. Usos innovadores del software GeoGebra en la enseñanza de la matemática. Varona, Revista Científico-Metodológica, Habana, v. 72, [s. n], p. 51-53, 2021.
• LUPIÁÑEZ, J. L.; RICO, L. Análisis didáctico y formación inicial de profesores: competencias y capacidades en el aprendizaje de los escolares. PNA, Granada, v. 3, n. 1, p. 35-48, 2008.
• MOLINA, M.; CASTRO, E.; MOLINA, J.L.; CASTRO, E. Un acercamiento a la investigación de diseño a través de los experimentos de enseñanza. Enseñanza de las Ciencias, Barcelona, v. 29, n. 1, p. 75-88, 2011.
• MUÑOZ-ESCOLANO, J. Crónica del encuentro: Enseñar matemáticas con GeoGebra: retos, roles, resultados. Revista Suma, Badalona, v. 81, [s. n], p. 105-108, 2016.
• Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico- OCDE, La definición y selección de competencias claves. Resumen ejecutivo. Paris: OCDE Publishing, 2005. Disponible en: https://www.deseco.ch/bfs/deseco/en/index/03/02.parsys.78532.downloadList.94248.DownloadFile.tmp/2005.dscexecutivesummary.sp.pdf Acceso en: 2 de mayo de 2024.
  » https://www.deseco.ch/bfs/deseco/en/index/03/02.parsys.78532.downloadList.94248.DownloadFile.tmp/2005.dscexecutivesummary.sp.pdf
• Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico - OCDE, Marco de Evaluación y de Análisis de PISA para el Desarrollo: Lectura, matemáticas y ciencias. Versión preliminar. Paris: OCDE Publishing, 2017.
• PAVÓN GÓMEZ, J.A.; NIETO SÁNCHEZ, Z.C; GÓMEZ COLMENARES, C.A. Modelación matemática y GEOGEBRA en el desarrollo de competencias en jóvenes investigadores. Revista Logos, Ciencia & Tecnología, Bogotá, v. 7, n. 1, p. 65-70, 2015.
• POCHULU, M.; FONT MOLL, V. Herramientas y constructos del enfoque ontosemiótico del conocimiento e instrucción matemáticos para el diseño y análisis de procesos de enseñanza y aprendizaje. En RODRÍGUEZ, M.; POCHULU, M.; ESPINOSA, F. (coord.). Educación matemática. Aportes a la formación docente desde distintos enfoques teóricos. Los Polvorines: Universidad Nacional de General Sarmiento, 2022. p. 15-48. (Vol. 2).
• RODRÍGUEZ, L.; BRAVO, J.L.; PÉREZ, A.; RODRÍGUEZ, N.C. El GeoGebra como recurso didáctico para la comprensión de las formas indeterminadas de límite. Acta latinoamericana de Matemática Educativa, México, v. 33, n. 1, p. 751-762, 2020.
• ROJAS-BELLO, R.R. Introducción del GeoGebra en el proceso de enseñanza-aprendizaje de geometría a docentes en formación. Revista Caribeña de Investigación Educativa, Santo Domingo, v. 4, n. 1, p. 124-134, 2020.
• RÍOS CUESTA, W. Tasks to promote argumentation in math class based on Dynamic Geometry Software. Rastros Rostros, Barcelona, v. 25, n. 2, p. 1-17, 2023.
• ROMERO, L.; CAMARGO, L. Potencial del modelo de tareas tecno-pedagógicas para promover procesos de conjeturación en estudiantes universitarios. PNA, Granada, v. 16, n. 2, p. 141-166, 2022.
• RUBIO-PIZZORNO, S.; SALINAS, C.L.; GARCÍA-CUÉLLAR, D.; PRIETO, J.L. Matemática Educativa en la era digital: recursos educativos abiertos integrando prácticas y tecnologías digitales. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, México, v. 32, n. 2, p. 693-700, 2019.
• SOSA, L., APARICIO, E. Y TUYUB, J. Diseño de actividades de matemáticas con uso de tecnología. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, México, v. 21, [n. s], p. 1036-1045, 2008.
• WASSIE, Y.A.; ZERGAW, G.A. Capabilities and Contributions of the Dynamic Math Software, GeoGebra-a Review. North American GeoGebra Journal, Miami, v. 7, n. 1, p. 68-86, 2018.

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  01 Jul 2024
• Fecha del número
  2024

Histórico

• Recibido
  26 Set 2023
• Acepto
  02 Ene 2024